源内容（英文）
在微积分中，导数的近似值通常是指利用导数来估算函数在某一点附近的行为，而不是使用函数的精确（且往往复杂）公式。
让我们设定函数为 f，且 y = f(x)。令 ∆x 表示 x 的微小增量。
现在，y 的增量类似于 x 的增量，记作
∆y，其定义为 ∆y = f (x + ∆x) – f (x)
⇒ ∆y/∆x = [f(x + ∆x) – f (x)]/∆x
如果 dx = ∆x 相对于 x 来说比较小，那么 dy ≈ ∆y。
⇒ dy/dx ≈ [f(x + ∆x) – f (x)]/∆x
⇒ dy/dx × ∆x + f(x) ≈ f(x + ∆x)
因此，f(x + ∆x) ≈ f‘(x) × ∆x + f(x)
所以，线性近似公式 表示为：
> f(x + ∆x) ≈ f(x) + f′(x)(∆x)
>
> 其中：
>
> – f(a) 是函数在 a 处的值，
> – f′(a) 是函数在 a 处的导数，
> – (x − a) 是相对于点 a 的偏差。
例 1： 求 √26 的近似值。
解：
> 设 f(x) = √x，其导数为 f’(x)= 1/(2√x)
>
> 现在我们知道近似公式
>
> f(x + ∆x) ≈ f(x) + f′(x)(∆x)
>
> 这里我们假设 x 接近 25，因为 25 是一个完全平方数。
>
> 所以我们假设 ∆x = 1
>
> f(x + ∆x) = f(x) + f’(x) . ∆x
> ⇒ f(25 + 1) = f(25) + f‘(25) × 1
> ⇒ f(26) = √25 + (1/(2 × √(25))
> ⇒ f(26) = 5 + 1/10 √26
> ⇒ f(26) = 5 + 0.1 = 5.1
例 2： 求 f(3.02) 的近似值，其中 f(x) = 3×2 + 5x + 3。
解：
> 设 x = 3 且 Δx = 0.02。那么，
>
> 由于 f(3.02) = f(x + Δx) = 3(x + Δx)2 + 5(x + Δx) + 3
>
> 注意 Δy = f(x+Δx) – f(x)。
>
> 因此，f(x + Δx) = f(x) + Δy
>
> ≈ f(x) + f‘(x)Δx (因为 ds = Δx)
> ⇒ f(3.02) ≈ (3×2 + 5x + 3) + (6x + 5)Δx
> ⇒ f(3.02) = (27 + 15 + 3) + (18 + 5)(0.02)
> ⇒ f(3.02) = 45 + 0.46 = 45.46
>
> 因此，f(3.02) 的近似值为 45.46。
数值微分（有限差分）
在难以通过解析方法计算函数导数的情况下，我们可以使用数值微分来近似导数。这些近似基于有限差分。
- 前向差分: f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x)]/h
- 中心差分: f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x−h)]/2h
高阶近似
我们可以通过泰勒级数推导出高阶近似，它将函数展开为基于特定点处函数导数的无限项之和。包含的项越多，近似效果就越好。