三角函数的和差公式

三角函数的和差公式（Sum and Difference Formulas）是我们用来计算任意角度三角函数值的有力工具。通过将给定的角度表示为 0°、30°、45°、60°、90° 和 180° 等标准角度的和或差，我们可以轻松求值。

• 例如，为了计算 15° 的余弦函数值，我们可以将 15° 表示为 45° 和 30° 的差，即 cos 15° = cos(45° – 30°)。
• 通过应用和差公式，我们可以很容易地计算出该情况下余弦函数的值。

> 三角学中使用的各种函数被称为三角函数，它们定义了三角形角与边之间的关系。六个基本的三角公式分别是 sin（正弦）、cosine（余弦）、tan（正切）、cosec（余割）、sec（正割）和 cot（余切）。

什么是和差公式？

当标准角度不能直接使用时，我们会使用和差公式来计算某些角度的三角函数。在三角学中，我们主要使用六个主要的和差公式。

六个主要的三角函数和差公式如下图所示：

!Sum-and-Difference-Formulas-copy三角函数和差公式

目录

• 和差恒等式的证明
• 余弦的和差公式
• 正弦的和差公式
• 正切的和差公式
• 和差公式表
• 如何应用和差公式
• 和差公式例题

和差恒等式

正弦公式：

• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

余弦公式：

• cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

正切公式：

• tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

和差恒等式的证明

为了证明三角函数的和差公式，让我们考虑一个单位圆，其上的坐标表示为 (cos θ, sin θ)。

• 考虑点 A 和 B，它们分别与正 X 轴形成 α 和 β 的角度。
• A 和 B 的坐标分别是 (cos α, sin α) 和 (cos β, sin β)。

我们可以观察到角 AOB 等于 (α – β)。现在，考虑单位圆上的另外两个点 P 和 Q，使得 Q 是 X 轴上坐标为 (1,0) 的点，且角 POQ 等于 (α – β)，因此点 P 的坐标为 (cos (α – β), sin (α – β))。

!Sum and Difference Identities

现在，OA = OP，OB = OQ，因为它们是同一单位圆的半径，而且两个三角形中其中一个夹角的大小也是 (α – β)。

因此，根据“边角边”全等判定，三角形 AOB 和三角形 POQ 是全等的。

我们知道全等三角形的对应部分是全等的，因此 AB = PQ。

即 AB = PQ。

利用两点间的距离公式，我们得到，

d_AB = √[(cos α – cos β)² + (sin α – sin β)²]

= √[cos² α – 2 cos α cos β + cos² β + sin² α – 2 sin α sin β + sin² β] {因为, (a – b)² = a² – 2ab + b²)}

= √[(cos² α+ sin² α) + (cos² β+ sin² β) – 2(cos α cos β + sin α sin β)]

= √[1 + 1 – 2(cos α cos β + sin α sin β)] {因为, sin² x + cos² x = 1}

> = √[2 – 2(cos α cos β+ sin α sin β)]…….(1)

d_PQ = √[(cos (α – β) – 1)² + (sin (α – β) – 0)²]

= √[cos² (α – β) – 2 cos (α – β) + 1 + sin² (α – β)] {因为, (a – b)² = a² – 2ab + b²)}

= √[(cos² (α – β) + sin² (α – β)) + 1 – 2 cos (α – β)]

= √[1 + 1 – 2 cos (α – β)] {因为, sin² x + cos² x = 1}

> = √[2 – 2 cos (α – β)]……(2)

因为 AB = PQ，我们将等式 (1) 和 (2) 设为相等。

√[2 – 2(cos α cos β+ sin α sin β)] = √[2 – 2 cos (α – β)]

两边同时平方，我们得到，

> 2 – 2(cos α cos β+ sin α sin β) = 2 – 2 cos (α – β)……(3)

余弦的和差公式

Cos (α – β) 公式

> 由公式 (3)

>

> 2 (1 – cos α cos β – sin α sin β) = 2 (1 – cos (α – β))

> 1 – cos α cos β – sin α sin β = 1 – cos (α – β)

>

> cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Cos (α + β) 公式

> 为了推导余弦函数的和公式，我们可以在余弦函数的差公式中用 (-β) 代替 β。

>

> 因此，cos (α + β) = cos (α – (-β))

> = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) {因为, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β}

> = cos α cos β – sin α sin β {因为, cos (-θ) = cos θ, sin (-θ) = – sin θ}

>

> cos (α + β) = cos α