Cos x 的积分等于 Sin x + C。函数的积分是求解曲线下面积的过程。对 Cos x 进行积分，可以求出余弦三角函数所覆盖区域的面积。积分也被称为函数的反导数，当函数可微时，其反导数存在。由于余弦函数在其定义域内是可微的，因此我们可以对 Cos x 进行积分。
在本文中，我们将一起学习什么是 Cos x 的积分、Cos x 的积分公式，以及如何对 cos x 进行积分。
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积分 of cos x 是 sin x + C，其中 C 是积分常数。由于余弦是一个可微函数，因此它的积分是存在的。在微积分中，微分和积分是互逆的过程。当我们知道一个函数的导数时，我们可以借助积分推导出原函数，但需要加上一个常数，这是因为在求导过程中常数会被消去（常数的导数为 0）。所以，每当我们进行积分时，都会加上一个常数 ‘c‘。积分的应用之一是用来求曲线下的面积。
cos x 的积分给出了 cos x 曲线下面积的信息，而其定积分则给出了 cos x 在指定边界内的图形下面积。
Cos x 的积分是 sin x。因此，cos x 的积分公式如下所示：
由于, d(sin x)/dx = cos x
> ∫cos x dx = sin x + c
我们可以通过以下两种方法推导 Cos x 的积分公式：
- 利用微积分基本定理
- 利用三角代换
下面是使用微积分基本定理对 cos x 进行积分的证明：
> 假设
>
> y = cos x
>
> dy/dx = -sin x
>
> 我们知道 : sin2x + cos2x = 1
>
> sin x = √(1-cos2x)
>
> dy/dx = – √(1-cos2x)
>
> dx = dy/-√(1-cos2x)
>
> [ cos x = y]
>
> dx = dy/ -√(1 – y2 )
>
> ∫cos x dx = -y.dy / √(1 – y2 )
>
> 假设 1 – y2 = t
>
> -2ydy = dt
>
> 将其代入 cos x 的积分中
>
> ∫cos x dx = dt / 2√t
>
> ∫cos x dx = √t
>
> ∫cos x dx = √(1 – y2)
>
> ∫cos x dx = √(1 – cos2x)
>
> ∫cos x dx = √sin2x
>
> ∫cos x dx = sin x
>
> 证毕。
下面是使用三角代换证明 cos x 积分的过程：
> I = ∫cos x.dx
>
> 令 cos x = (eix + e-ix)/2
>
> I = ∫(eix + e-ix)dx / 2
>
> I = ((eix/i) + (e-ix/-i))/2 + c
>
> I = (eix – e-ix)/2i + c
>
> 我们知道
>
> sin x = (eix – e-ix)/2i
>
> 因此
>
> I = sin x + c
>
> 证毕。
了解更多，
Cos x 的定积分给出了 cos x 图形在给定边界 [a,b] 下的面积。它表示为 ∫ab cos xdx，其中 a 和 b 是积分的上下限。定积分公式如下所示：
> ∫ab f(x) dx = F(b) – F(a)
cos x 的定积分如下所示：
> ∫ab cos xdx = [sin x]ab = sinb – sina
Cos x 从 0 到 π/2 的定积分
> ∫π/20cos xdx = [sin x] π/20
>
> = sin π/2 – sin 0
>
> = 1 – 0
>
> = 1
Cos x 从 π/2 到 π 的定积分
> ∫ππ/2cos xdx = [sin x]ππ/2
>
> = sinπ – sinπ /2
>
> = 0 – 1
>
> = -1
Cos x 积分的图形意义
我们知道积分给出了曲线下面积的概念。因此，cos x 的积分也给出了余弦曲线在定义范围内的下面积。余弦曲线下的面积如下图所示：
!Integral-of-Cos x – Area Graph
余弦曲线从 0 到 π/2 下的面积
余弦曲线下面积的近似计算
Cos x 积分例题
例 1：计算 ∫x.cos x dx
解：
我们可以使用分部积分法，公式为 ∫u.dv = uv – ∫v.du
设 u = x, dv = cos x dx
du = dx, v = sin x
现在，∫x.cos x dx = x.sin x – ∫sin x dx
= x.sin x – (-cos x) + C
= x.sin x + cos x + C
例 2：求 ∫cos3 x dx
解：
使用公式 cos 3x = 4cos3 x – 3cos x
因此，cos3 x = (cos 3x + 3cos x)/4
∫cos3 x dx = ∫(cos 3x + 3cos x)/4 dx
= (1/4) ∫(cos 3x + 3cos x) dx
= (1/4) [(sin 3x)/3 + 3sin x] + C
= (sin 3x)/12 + (3/4)sin x + C
Cos x 积分练习题
- 计算 ∫cos2 x dx
- 计算 ∫x2.cos x dx
- 求 ∫cos(ax + b) dx