复数是指那些形如 \(a + ib\) 的数，其中 \(a\) 和 \(b\) 是实数，\(I\) (iota) 是虚部单位，代表 \(\sqrt{-1}\)。它们通常以矩形或标准形式表示。例如，\(10 + 5i\) 是一个复数，其中 10 代表实部，\(5i\) 代表虚部。根据 \(a\) 和 \(b\) 的值，它们可能是纯实数或纯虚数。当 \(a + ib\) 中的 \(a = 0\) 时，\(ib\) 是一个纯虚数；当 \(b = 0\) 时，我们得到 \(a\)，这是一个纯实数。
两个复数的除法
两个复数的除法过程与两个实数的除法过程略有不同。除以复数更像是在分数分母中含有无理数的情况下，对分母进行有理化的概念。
以下步骤涉及其中：
- 确保分子和分母均为复数的标准形式，即 \(z = a + ib\)。
- 计算分母的共轭复数。例如，如果分母是 \(c + id\)，那么它的共轭是 \(c – id\)。
- 用共轭复数同时乘以分数的分子和分母。
- 利用平方差公式求解分母。
- 将得到的复数划分为实部和虚部。
两个复数 \(z1 = x + iy\) 和 \(z2 = a + ib\) 的除法过程如下所示：
\begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{x+iy}{a+ib}\\&=\dfrac{x+iy}{a+ib}\times\dfrac{a-ib}{a-ib}\\&=\dfrac{(x+iy)(a-ib)}{a^2-(ib)^2}\\&=\dfrac{ax-ibx+iay-i^2by}{a^2-(-1)b^2}\\&=\dfrac{ac-ibx+iay+by}{a^2+b^2}\\&=\dfrac{(ax+by)+i(ay-bx)}{a^2+b^2}\\&=\dfrac{ax+by}{a^2+b^2}+i\left(\dfrac{ay-bx}{a^2+b^2}\right)\end{aligned}
解决方案：
> 分母 \(-3i\) 的标准形式为 \(0 – 3i\)。
>
> 分母的共轭复数为 \(0 + 3i\)。
>
> 分子和分母同时乘以 \(0 + 3i\)。
>
> \begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{1+5i}{0-3i}\\&=\dfrac{1+5i}{0-3i}\times\dfrac{0+3i}{0+3i}\\&=\dfrac{(1+5i)(0+3i)}{0^2-(3i)^2}\\&=\dfrac{3i+15i^2}{0^2-(-1)3^2}\\&=\dfrac{3i-15}{0^2+3^2}\\&=\dfrac{3i-15}{9}\\&=\dfrac{-5}{3}+i\left(\dfrac{1}{3}\right)\end{aligned}
相似问题
问题 1. 求解： \frac{-3-5i}{2i}
。
解决方案：
> 分母 \(2i\) 的标准形式为 \(0 + 2i\)。
>
> 分母的共轭复数为 \(0 – 2i\)。
>
> 分子和分母同时乘以 \(0 + 2i\)。
>
> \begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{-3-5i}{0+2i}\\&=\dfrac{-3-5i}{0+2i}\times\dfrac{0-2i}{0-2i}\\&=\dfrac{(-3-5i)(0-2i)}{0^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{-5}{2}+i\left(\dfrac{3}{2}\right)\end{aligned}
问题 2. 求解： \frac{-1}{3+2i}
。
解决方案：
> 分母的共轭复数为 \(3 + 2i\)。
>
> 分子和分母同时乘以 \(3 – 2i\)。
>
> \begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{-1}{3+2i}\\&=\dfrac{-1}{3-2i}\times\dfrac{3+2i}{3+2i}\\&=\dfrac{(-3+2i)}{3^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{-3}{13}+i\left(\dfrac{2}{13}\right)\end{aligned}
问题 3. 求解： \frac{1}{3+2i}
。
解决方案：
> 分母的共轭复数为 \(3 + 2i\)。
>
> 分子和分母同时乘以 \(3 – 2i\)。
>
> \begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{1}{3+2i}\\&=\dfrac{1}{3-2i}\times\dfrac{3+2i}{3+2i}\\&=\dfrac{(3+2i)}{3^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{3}{13}+i\left(\dfrac{2}{13}\right)\end{aligned}
问题 4. 求解 (5+√2i)/(1−√2i)。
解决方案：
> 分母的共轭复数为 \(1 + \sqrt{2}i\)。
>
> 分子和分母同时乘以 \(1 + \sqrt{2}i\)。
>
> \begin{aligned}\dfrac{5+\sqrt{2}i}{1-\sqrt{2}i}=\dfrac{a+ib}{c+id}&=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\left(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)\\&=\dfrac{(5\times 1)+(\sqrt{2}\times(-\sqrt{2}))}{1^2+(-\sqrt{2})^2}+\\&i\left(\dfrac{(\sqrt{2} \times 1)-(5\times(-\sqrt{2}))}{1^2+(-\sqrt{2})^2}\right)\\&=\dfrac{5-2}{1+2}+i\left(\dfrac{\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{1+2}\right)\\&=\dfrac{3+6\sqrt{2}i}{1+2}\\&=1+2\sqrt{2}i\end{aligned}
问题 5. 求解： \frac{1-5i}{-3i}
。
解决方案：
> 分母 \(-3i\) 的标准形式为 \(0 – 3i\)。
>
> 分母的共轭复数为 \(0 + 3i\)。
>
> 分子和分母同时乘以 \(0 + 3i\)。
>
> \begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{1-5i}{0-3i}\\&=\dfrac{1-5i}{0-3i}\times\dfrac{0+3i}{0+3i}\\&=\dfrac{(1-5i)(0+3i)}{0^2-(3i)^2}\\&=\dfrac{3i-15i^2}{0^2-(-1)3^2}\\&=\dfrac{3i+15}{0^2+3^2}\\&=\dfrac{3i+15}{9}\\&=\dfrac{5}{3}+i\left(\dfrac{1}{3}\right)\end{aligned}