在数学中，我们将集合定义为一组定义明确的、互不相同的元素，这些元素通常具有某种共同的性质。这些元素可以是数字、字母，甚至可以是其他集合，我们将它们列在大括号“{ }”中，并用大写字母来表示。例如，一个集合可以包含一周中的所有天数。
数学中不同类型的集合包括：
单元素集合 (Singleton Set)
单元素集合是指仅包含 1 个元素的集合。
示例：
> – 集合 A= {1} 是一个单元素集合，因为它只有一个元素，即 1。
> – 集合 P = {a : a 是一个偶质数} 是一个单元素集合，因为它只有一个元素 2。
类似地，所有只包含一个元素的集合都被称为 单元素集合。
单元素集合的性质：
- 单元素集合恰好有一个元素，例如：{7}
- 它的基数（大小）为 1。
- 单元素集合永远是一个有限集合。
- 它是任何包含其元素的集合的子集，例如：{7} ⊆ {5, 6, 7}
- 单元素集合的幂集有 2 个元素：
例如：{a} 的幂集 = {∅, {a}}
- 单元素集合的每个元素在幂集中也是一个单元素集合。
空集合 (Empty Set)
空集合也被称为 Null 集合或 Void 集合。它们是指内部没有任何元素的集合。通常用 ϕ 表示，也读作 phi。
示例：
> – 集合 A= {a: a 是大于 5 且小于 3 的数字}
> – 集合 B= {p: p 是同时在 7 年级和 8 年级学习的学生}
空集合的性质 (∅)：
- ∅ 没有元素（0 个元素）。
- ∅ 是每个集合的子集。
- 只有一个空集合。
- ∅ 不是单元素集合。
- 不相交集合的交集是 ∅。
- ∅ 的幂集是 {∅}（有 1 个元素）。
有限集合 (Finite Set)
有限集合是指具有可数数量元素的集合。
换句话说，你可以数清它有多少个元素，并且计数过程会结束。我们称之为 有限集合。
示例：
> – A = {1, 2, 3, 4} → 有限（4 个元素）
> – B = {"苹果", "香蕉"} → 有限（2 个元素）
> – C = ∅ (空集合) → 也是一个有限集合（0 个元素）
有限集合的性质：
- 拥有固定数量的元素。
- 元素的数量是一个整数（0 或更多）。
- 我们可以数清元素并完成计数。
- 空集合也是有限的（有 0 个元素）。
- 所有的单元素集合都是有限的。
- 两个有限集合的并集、交集或差集也是有限集合。
无限集合 (Infinite Set)
无限集合是指包含无限多个元素的集合，在元素数量难以确定的情况下，我们称之为 无限集合。
示例：
> – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} → 无限
> – B = 天空中所有的星星 → 无限
> – C = 所有自然数的集合 → 无限
无限集合的性质：
- 拥有无限或无尽的元素。
- 你无法数完所有的元素 —— 计数永远不会结束。
- 去除或添加有限数量的元素不会使它变成有限集合。
- 无限集合可以是可数的（如自然数）或不可数的（如实数）。
- 无限集合的幂集也是无限的。
相等集合 (Equal Set)
两个拥有相同元素且元素数量相等的集合被称为相等集合。集合中的元素可以重新排列，或者可能被重复提及，但它们仍然是 相等集合。
示例：
> – 集合 A = {1, 2, 6, 5}
> – 集合 B = {2, 1, 5, 6}
>
> 在上面的例子中，元素都是 1, 2, 5, 6。因此， A= B。
相等集合的性质：
- 如果一个集合中的每个元素也都在另一个集合中，则这两个集合相等。
- 元素的顺序不重要。
- 元素的重复不影响（集合不允许重复）。
- 如果 A = B，那么 A ⊆ B 且 B ⊆ A。
- 相等集合具有相同数量的元素（基数相同）。
等价集合 (Equivalent Set)
等价集合是指那些拥有相同数量元素的集合。需要注意的是，两个集合中的元素可能不同，但元素的数量是相等的。例如，如果一个集合有 6 个元素，而另一个集合也有 6 个元素，它们就是 等价集合。
示例：
> – 集合 A= {2, 3, 5, 7, 11}
> – 集合 B = {p, q, r, s, t}
> – 集合 A 和集合 B 都有 5 个元素，因此，两者都是等价集合。
等价集合的性质：
- 等价集合具有相同数量的元素。
- 元素可以不同；重要的是数量。
- 如果两个集合 A 和 B 是等价的，我们记作：A ≈ B
- 所有相等的集合都是等价的，但并非所有等价的集合都相等。