Sin A Plus B 或 sin(A + B) 是三角学中的一个常用公式，用于求解正弦的各种值。两个角 A 和 B 之和的正弦（通常表示为 sin (A + B））可以用角 A 和 B 各自的正弦和余弦来表达。在这篇文章中，我们将详细探讨这个公式。
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目录
- 什么是三角恒等式？
- 什么是 Sin(a + b)？
- Sin(a + b) 公式的证明
- 其他类似的恒等式
- Sin (a + b) 的例题
- 常见问题
什么是三角恒等式？
三角恒等式是包含三角函数的方程，在其定义域内对所有变量的值都成立。这些恒等式是三角学的基础工具，常用于简化表达式、解方程以及证明其他数学命题。
一些常见的三角恒等式包括：
在这篇文章中，我们将详细讨论 sin (a + b) 恒等式，包括它的证明。
什么是 Sin(a + b)？
Sin (a+b) 是一个重要的公式，用于计算由给定两个角之和所形成角的正弦值。它是一个标准的三角恒等式，用于求角度之和的正弦三角函数。通常用于简化计算。
Sin(a + b) 的公式
让我们来看看用于计算复合角 ‘a+b‘ 正弦值的公式。
> sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Sin(a + b) 公式的证明
cos(A – B) 公式的证明可以通过多种方法完成，例如几何构造法、使用复数等。让我们来讨论以下其中一些方法：
使用几何构造法
假设： 假设有两个锐角 a 和 b，且 a 和 b 的和也是锐角，即 ‘a + b‘ < 90o
构造： 画一条直线 OL，并从原直线生成另一条角度为 ‘a‘ 的直线（称之为直线 OQ）。这条直线沿相同方向进一步旋转，与最初画的直线形成角度 ‘b‘（称之为直线 OP）。请注意，给定图中的角 ‘SOP‘ 是锐角。现在，从点 P 和 Q 向直线 OL 画两条垂线。
该构造如下图所示：
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证明：
由直角三角形 PTQ 可得，
∠TPQ = 90° – ∠PQT = ∠TQO = alternate ∠QOL = a.
在三角形 QOS 中，
sin a = QS/OQ
在三角形 POQ 中
sin b = PQ/OP
cos b = OQ/OP
在三角形 PTQ 中，
cos a = PT/PQ
现在，从直角三角形 PRO 中，我们得到，
sin (a + b) = PR/OP
⇒ sin (a + b) = (PT + TR)/OP
⇒ sin (a + b) = PT/OP + TR/OP
⇒ sin (a + b) = PT/OP + QS/OP
⇒ sin (a + b) = PT/PQ ∙ PQ/OP + QS/OQ ∙ OQ/OP
⇒ sin (a + b) = cos a sin b + sin a cos b
因此，sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b。
使用复数
下面讨论使用复数证明 sin (A + B)，
Sin (A + B) 公式可以使用复数推导如下，
eix = cos x + i.sin x
让我们假设 x = (A + B)
ei(A + B) = cos (A + B) + i.sin (A + B)
现在，在 ei(A + B) 上应用指数法则
ei(A+ B) = ei(A). ei(B)
cos (A + B) + i.sin (A + B) = {cos A + i.sin A}.{cos (B) + i.sin (B)}
cos (A + B) + i.sin (A + B) = cos A.cos B – sin A.sin B + i(sin A.cos B + cos A.sin B)
比较实部和虚部，
- cos (A + B) = cos A.cos B – sin A.sin B
- sin (A + B) = sin A.cos B + cos A.sin B
由此，sin (A + B) 公式得证。
如何应用 Sin(a + b) 公式？
要应用该公式，我们需要知道需要求复合角正弦值的两个角。
让我们考虑 a = 45° 和 b = 45° 来理解这个公式。
- 写下复合角公式 sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b。
- 现在，你需要代入 a 和 b 的值。
- 然后确定 a 和 b 的值并将这些值代入公式
让我们看一个例子。
例题：使用 sin(a + b) 公式求 sin 90° 的值。
解：
> 我们知道，sin 90° = sin (45° + 45°) = sin (30° + 60°)
>
>
> Sin(45° + 45°) = sin45° . cos45° +cos45° . sin45°
>
>
> ⇒ Sin (90°) = 1/√2 . 1/√2 + 1/√2 . 1/√2
>
>
> ⇒ Sin (90°) = 1/2 + 1/2
>
>
> ⇒ Sin (90°) = 1
其他类似的恒等式
其他类似的恒等式包括：
- sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
- cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
- cos (A – B) = cos A cos B + si