异面直线：定义、性质与距离计算

异面直线指的是既不相交也不平行的一对直线。这个概念仅适用于二维以上的空间，因为异面直线必须位于不同的平面中，即它们是不共面的。相比之下，在二维空间中，直线之间的关系只有两种：相交或平行。

在本文中，我们将学习关于异面直线、异面直线的示例，以及如何计算异面直线之间的最短路径和其他细节。

!异面直线示例

目录

• 什么是异面直线？
• 异面直线示例
• 三维空间中的异面直线
• 立方体中的异面直线
• 异面直线公式
• 两条异面直线形成的夹角
• 异面直线之间的距离公式
• 矢量形式
• 笛卡尔形式
• 异面直线之间的距离
• 两条异面直线之间的距离
• 两条异面直线之间的最短距离
• 关于异面直线的要点
• 异面直线例题
• 异面直线练习题

什么是异面直线？

在深入了解异面直线之前，我们必须先了解直线的类型，包括：

• 相交线：如果两条或更多条直线位于同一平面并在特定位置相交，则它们被视为相交线。
• 平行线：如果两条直线位于同一平面且即使无限延伸也永不相交，则它们被视为平行线。
• 共面线：位于同一平面内的直线。

现在让我们来谈谈异面直线：

• 异面直线：非平行且不相交的直线被称为异面直线。

异面直线定义

> 一对不相交、不平行且不共面的直线被称为异面直线。由此可见，异面直线彼此不平行，并且永远不会相交。

直线在二维空间或同一平面内可以是平行或相交的。由于异面直线不受这一特性的限制，它们将始终是非共面的，并且存在于三维或更高维的空间中。

异面直线示例

许多现实场景中都有异面直线。假设有两条线：一条在天花板上，一条在墙上。如果它们位于不同的平面，既不相交也不彼此平行，那么这些线可能是异面直线。这些线在任一方向上都是无限延伸的。

三维空间中的异面直线

由于异面直线本质上是不共面的，它们将始终存在于三维空间中。

假设如下图所示的三维实心形状。我们在三角形面上画一条线，称之为“a”。我们在四边形面上画一条线，称之为“b”。

不存在一个同时包含 a 和 b 的平面。如果我们将“a”和“b”在两个方向上无限延伸，它们彼此不平行，也永远不会相交。因此，在 3D 中，“a”和“b”是异面直线。

!三维空间中的异面直线

立方体中的异面直线

立方体是实心三维形状的一个例子。我们要采取三个步骤来定位立方体中的异面直线。

> 步骤 1： 找到不相交的线。

>

> 步骤 2： 确定这些线对是否也彼此不平行。

>

> 步骤 3： 接下来，如果这些线既不相交也不平行，请确定它们是否不共面。如果是，则所选的线对就是异面直线。

立方体如下所示：

!立方体中的异面直线

可以看出，直线 GF 和 CD 既不平行也不相交。此外，它们所在的平面也不相同。因此，CD 和 GF 是异面直线。

在寻找异面直线时，我们还可以考虑实心物体的对角线。

异面直线公式

异面直线不存在于二维空间中。我们有利用矢量和笛卡尔方法计算三维空间中异面直线之间最短路径的公式。由于两条异面直线不平行且永不相交，计算它们之间的夹角可能比较困难。

两条异面直线形成的夹角

假设我们有两条异面直线 PQ 和 RS。在 RS 上取一点 O，从该点画一条平行于 PQ 的直线 OT。我们可以使用角 SOT 的测量值来获得两条异面直线之间的夹角。

异面直线之间的距离公式

为了确定两条异面直线之间的距离，我们必须画一条垂直于这两条异面直线的线。为了获得两条所选异面直线之间最短距离公式的各种版本，我们可以用笛卡尔和矢量形式来表示这些直线。

假设 P1 和 P2 是我们的两条…