大圆是指在球体表面所能画出的最大的圆。它是由通过球心的平面与球面相交所形成的，这个平面将球体平分成了两个相等的半球。
下图展示了一个球体，以及在其表面可以绘制的不同半径和大小的圆。
球体及其大圆的表示
最短距离：
- 大圆代表了球面上两点之间的最短路径，这一概念常用于航空和航海导航（例如，从一个城市飞往另一个城市）。
- 它们在导航领域至关重要，因为沿着大圆行进是通往遥远地点的最高效路线。有时，大圆也被称为大航线（注：原文Romanian Circles为笔误，实指Rhumb Lines或Orthodrome，此处按语境译为相关术语）。
在本文中，我们将一起探索大圆的应用，推导它的公式，并通过例题来实际演练。
大圆的应用
大圆公式的应用主要用于飞机或船舶的导航，这是其应用最广泛的场景之一。因为地球是球形的，大圆公式通过确定球面内的最短距离，为导航提供了极大的帮助。
如下图所示，大圆是与主球体共用圆心的那个圆。球体和大圆的直径是重合的。
球体标注
大圆公式
大圆公式如下所示：
> d = r cos⁻¹[cos a cos b cos(x-y) + sin a sin b]
其中，
- r 代表地球（或球体）的半径，
- a 和 b 代表两点的纬度，
- x 和 y 代表两点的经度。
样题
#### 问题 1.
假设球体半径为 4.7 公里，纬度分别为 (45°, 32°)，经度分别为 (24°,17°)，求大圆的距离。
解答：
> 大圆公式由下式给出：d = rcos⁻¹[cos a cos b cos(x-y) + sin a sin b]。
>
> 已知：r = 4.7 km (即 4700 m)，a, b = 45°, 32°，且 x, y = 24°, 17°。
> 将数值代入上述公式，我们有：
>
> 将角度转换为弧度
> 弧度 = 度数 × π/180
> a = 45° = 45 × π/180 = 0.7854
> b = 32° = 32 × π/180 = 0.5585
> x = 24° = 24 × π/180 = 0.4189
> y = 17° = 17 × π/180 = 0.2967
> x – y = 0.4189 – 0.2967 = 0.1222
>
> 现在计算所有三角函数值：
>
> * cos a = cos(0.7854) = 0.7071
> * cos b = cos(0.5585) = 0.8480
> * cos(x-y) = cos(0.1222) = 0.9925
> * sin a = sin(0.7854) = 0.7071
> * sin b = sin(0.5585) = 0.5314
>
> 接下来，
> d = 4700 ⋅ cos⁻¹(0.7071 ⋅ 0.8480 ⋅ 0.9925 + 0.7071 ⋅ 0.5314)
> = 4700 ⋅ cos⁻¹(0.9731)
> = 4700 × 0.2326 = 1093.2
>
> ⇒ d = 1093.2 m
#### 问题 2.
假设球体半径为 5 公里，纬度分别为 (25°, 34°)，经度分别为 (48°, 67°)，求大圆的距离。
解答：
> 大圆公式由下式给出：d = rcos⁻¹[cos a cos b cos(x-y) + sin a sin b]。
>
> 已知：r = 5 km (即 5000 m)，a, b = 25°, 34°，且 x, y = 48°, 67°。
> 将数值代入上述公式，我们有：
>
> 将角度转换为弧度
> 弧度 = 度数 × π/180
> a = 25° = 25 × π/180 = 0.4363
> b = 34° = 34 × π/180 = 0.5934
> x = 48° = 48 × π/180 = 0.8378
> y = 67° = 67 × π/180 = 1.1694
> x – y = 1.1694 – 0.8378 = 0.3316
>
> 现在计算所有三角函数值：
>
> * cos a = cos(0.4363) = 0.9063
> * cos b = cos(0.5934) = 0.8290
> * cos(x-y) = cos(0.3316) = 0.9449
> * sin a = sin(0.4363) = 0.4226
> * sin b = sin(0.5934) = 0.5299
>
> 接下来，
> d = 5 ⋅ cos⁻¹(0.9063 ⋅ 0.8290 ⋅ 0.9449 + 0.4226 ⋅ 0.5299)
> d = 5 ⋅ cos⁻¹(0.7185 + 0.2248) = 5 ⋅ cos⁻¹(0.9433)
> = 5 ⋅ 0.3316 = 1.658 km
>
> ⇒ d = 1.658 km
#### 问题 3.
假设球体半径为 10 公里，纬度分别为 (55°, 86°)，经度分别为 (28°, 70°)，求大圆的距离。
解答：
> 大圆公式由下式给出：d = rcos⁻¹[cos a cos b cos(x-y) + sin a sin b]。
>
> 已知：r = 10 km，a, b = 55°, 86°，且 x, y = 28°, 70°。
> 将数值代入上述公式，我们有：
>
> 将角度转换为弧度
> 弧度 = 度数 × π/180
> a = 55° = 55 × π/180 = 0.9599
> b = 86° = 86 × π/180 = 1.5010
> x = 28° = 28 × π/180 = 0.4887
> y = 70° = 70 × π/180 = 1.2210
> x – y = 1.2210 – 0.4887 = 0.7323
>
> 现在计算所有三角函数值：
>
> * cos a = cos(0.9599) = 0.5775
> * cos b = cos(1.5010) = 0.0707
> * cos(x-y) = cos(0.7323) = 0.7451
> * sin a = sin(0.9599) = 0.8169
> * sin b = sin(1.5010) = 0.9975
>
> 接下来，
> d = 10 ⋅ cos⁻¹(0.5775 ⋅ 0.0707 ⋅ 0.7451 + 0.8169 ⋅ 0.9975)
> d = 10 ⋅ cos⁻¹(0.0310 + 0.8150) = 10 ⋅ cos⁻¹(0.8460)
> = 10 ⋅ 0.5567 = 5.567 km
>
> ⇒ d = 5.567 km
#### 问题 4.
假