三角学是数学的一个分支，主要处理三角形的角、边长、高及其相互关系。它在计算复杂函数或在没有三角学的情况下无法计算的长距离时发挥了重要作用。在解决三角学问题时，我们会遇到许多必须计算角度之和或角度之差的三角函数解的情况。例如：
在这里， \frac{BC}{AB} = \frac{Opposite \hspace{0.1cm}side} {Adjacent\hspace{0.1cm} side}
这是一个正切三角函数比，其对应的对边为 BC。
tan(θ+Φ) = \frac{BC}{AB}
如果 θ = 30° 且 Φ = 45°。我们要知道 45° 和 30° 的三角函数值，但我们可能不知道 (45° + 30° = 75°) 的三角函数值。因此，为了简化这类问题。我们将学习两角和与差的三角公式或恒等式，这将使问题变得更容易。
在继续深入之前，我们先来看看三角函数在四个象限中的符号。这些符号在三角学中起着重要作用。
三角恒等式
现在我们将要推导三角恒等式。正如我们所知：
sin(-x) = – sin x
cos(-x) = cos x
因为在第四象限只有 cos 和 sec 是正的。所以，现在我们要证明一些关于两角之和与差的结果：
> 让我们考虑一个以原点为中心的单位圆（半径为 1）。设 x 为 ∠DOA，y 为 ∠AOB。那么 (x + y) 就是 ∠DOB。同时设 (– y) 为 ∠DOC。
>
> 因此，点 A, B, C 和 D 的坐标为
>
> A = (cos x, sin x)
>
> B = [cos (x + y), sin (x + y)]
>
> C = [cos (– y), sin (– y)]
>
> D = (1, 0).
> !image
> 因为, ∠AOB = ∠COD
>
> 两边同时加上 ∠BOC，我们得到
>
> ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC
>
> ∠AOC = ∠BOD
>
> 在 △ AOC 和 △ BOD 中
>
> OA = OB (圆的半径)
>
> ∠AOC = ∠BOD (刚才已证)
>
> OC = OD (圆的半径)
>
> 根据 SAS 全等判定, △ AOC ≅ △ BOD。
>
> 通过使用距离公式，对于
>
> AC2 = [cos x – cos (– y)]2 + [sin x – sin(–y]2
>
> AC2 = 2 – 2 (cos x cos y – sin x sin y) …………….(i)
>
> 并且，现在
>
> 同理，使用距离公式，我们得到
>
> BD2 = [1 – cos (x + y)]2 + [0 – sin (x + y)]2
>
> BD2 = 2 – 2 cos (x + y) …………….(ii)
>
> 因为, △ AOC ≅ △ BOD
>
> AC = BD, 所以 AC2 = BD2
>
> 由方程 和方程，我们得到
>
> 2 – 2 (cos x cos y – sin x sin y) = 2 – 2 cos (x + y)
>
> 所以,
>
> cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
>
> 取 y = -y, 我们得到
>
> cos (x + (-y)) = cos x cos (-y) – sin x sin (-y)
>
> cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y
>
> 现在，取
>
> cos (\frac{\pi}{2} -(x + y)) = cos ((\frac{\pi}{2} -x) – y) (cos (\frac{\pi}{2} -θ) = sin θ)
>
> sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y
>
> 取 y = -y, 我们得到
>
> sin (x – (-y)) = sin x cos (-y) – cos x sin (-y)
>
> sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
关于复合角度的三角函数比，推导出的公式如下：
> sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ………………..(1)
>
> sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B ………………..(2)
>
> cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B ..………………(3)
>
> cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B ………………..(4)
通过使用这些公式，我们可以得出一些重要且常用的形式：
(1) 取, A = \mathbf{\frac{\pi}{2}}
> 在方程 和 中，我们得到
>
> sin (\frac{\pi}{2} +B) = cos B
>
> cos (\frac{\pi}{2} +B) = – sin A
(2) 取, A = π
> 在方程, , 和 中，我们得到
>
> sin (π + B) = – sin B
>
> sin (π – B) = sin B
>
> cos (π ± B) = – cos B
(3) 取, A = 2π
> 在方程 和 中，我们得到
>
> sin (2π – B) = – sin B
>
> cos (2π – B) = cos B
同理对于 cot A, tan A, sec A, 和 cosec A
(4) \mathbf{tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1-tan A tan B}}
> 这里，A, B, 和 (A + B) 不是 π/2 的奇数倍，所以 cosA, cosB 和 cos(A + B) 非零
>
> tan(A + B) = sin(A + B)/cos(A + B)
>
> 由方程 和，我们得到
>
> tan(A + B) = sin A cos B + cos A sin B/cos A cos B – sin A sin B
>
> 现在将分子和分母同时除以 cos A cos B，我们得到
>
> tan(A + B) = \frac{\frac{sin A cos B}{cosAcosB} + \frac{cos A sin B}{cosAcosB}}{\frac{cos A cos B}{cosAcosB} – \frac{sin A sin B}{cosAcosB}}
>
> tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1-tan A tan B}
(5) \mathbf{tan(A – B) = \frac{tan A – tan B}{1+tan A tan B}}
> 正如我们所知
>
> tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1-tan A tan B}
>