在数学中，连续性描述了函数的表现有多么平滑，没有突然的跳跃、断裂或空洞。它是微积分的一个重要单元，因为它构成了基础，并帮助我们进一步证明函数是否可导。
形式上，如果满足以下三个条件，函数 f(x) 在点 x = a 处是连续的：
- f(a) 有定义（函数在 a 处有值）。
- limx→a f(x) 存在（两侧的极限都存在）。
- limx→a f(x) = f(a)（极限等于实际值）。
如果这些条件在一个区间内的每个点都得到满足，则该函数在该区间上是连续的。如果它们对于其定义域内的所有实数都成立，则称该函数处处连续。
上述三个条件分别称为函数条件、极限条件和点条件。
> 注意： 当上述任何一个条件不满足时，就会发生间断，导致曲线出现断裂、空洞或跳跃。
连续函数最好的例子是三角函数，例如 sin(x) 和 cos(x)。它们是周期性函数，且函数值在每个点都存在。
单侧连续性
单侧连续性是指输入分别从左侧或右侧接近该点时，函数值在该输入处的连续性。我们通常在输入上使用 + 或 – 作为指数。
- 对于左侧，我们使用负号，这一侧被称为左手极限，缩写为 LHL。LHL 表示为 Iimx→a-f(x)。
- 对于右侧，我们使用正号。右侧也被称为右手极限。它表示为 Iimx→a+f(x)
简单来说，连续性意味着函数的图像中没有突然的跳跃、空洞或断裂。我们可以在不把笔从纸上拿开的情况下画出这个函数。
函数连续性示例
让我们检查函数 f(x) = sin (x) 在 a = 0 处的连续性
> 让我们求 a=0 时的函数值
>
> f(0) = sin(0) = 0
>
> 现在分别计算左极限和右极限，我们得到
>
> LHL = limx → 0- f(x)
> ⇒ LHL = limh → 0 f(0 – h)
> ⇒ LHL = limh → 0 sin(-h)
> ⇒ LHL = – limh → 0 sin(h)
> ⇒ LHL = 0
>
> RHL = limx → 0+ f(x)
> ⇒ RHL = limh → 0 f(0 + h)
> ⇒ RHL = limh → 0 sin(h)
> ⇒ RHL = limh → 0 sin(h)
> ⇒ RHL = 0
>
> 条件 Iim(x→0-)f(x)=f(0)=Iim(x→0+)f(x) 得到满足。因此函数在 x = 0 处是连续的
注意： 所有多项式、对数和指数函数（如 ex）在其所有定义域内都是连续的。
确定连续性的技巧
有不同的技巧可以用来确定连续性。其中一些如下：
代数变形
在这里，我们使用代数技巧，如因式分解、使用三角恒等式等来解决与连续性相关的问题。让我们通过一个例子来详细说明。
示例： 设 f(x) 定义如下
\bold{f(x) = \begin{cases}\frac{x^2 – 5}{x – \sqrt5} & \text{if} ~x ≠ \sqrt5\\ 2√5 & \text{if} ~x = \sqrt5\end{cases}}
测试在 x = √5 处的连续性。
解法：
> 如果我们将 x = √5 代入函数 (x2 – 5) / (x – 5)，则该函数未定义。
>
> 因此我们需要对函数进行因式分解和简化。
>
> limx→√5 (x2 – 5) / (x – √5)
>
> = limx→√5 [(x – √5)(x + √5)]/(x – √5)
>
> = limx→√5 (x + √5) = 2√5
>
> 而且，在 x = √5 处，函数由 f(x) = f(√5) 给出
>
> 因此该函数是连续的。
分段函数
分段函数是指对不同的函数有不同定义的函数，如果函数的图像在某些区间内是连续的，则称该函数是连续的。让我们考虑一个例子以便更好地理解它。
示例： 设 f(x) 定义如下。
\bold{f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{if } x 1\end{cases}}
测试在 x = 1 处的连续性。
解法：
> 让我们计算左手极限
>
> LHL = limx → 1- f(x)
> ⇒ LHL = limh → 0 f(1 – h)
> ⇒ LHL = limh → 0 (1 – h + 2)
> ⇒ LHL = limh → 0 (3 – h)
> ⇒ LHL = 3
>
> f(1) = 1 已给出
>
> 并且，
>
> RHL = limx → 1+ f(x)
> ⇒ RHL = limh → 0 f(1 + h)
> ⇒ RHL = limh → 0 (2 – (1 + h))
> ⇒ RHL = limh → 0 1
> ⇒ RHL = 1
>
> 右手极限等于 f(1) 但不等于左手极限。因此该函数不连续。
有理函数
有理函数 的形式是 p/q，其中 q 不等于 0。如果存在根号，我们可以通过将[分子](https://www.geeksforg 乘以有理化因式来检查这些类型函数的连续性