在统计学中，方差分析（ANOVA）是一个强大的工具，用于分析组均值之间的差异及其相关过程。对于心理学、生物学、教育学和商业等领域的学生和专业人士来说，掌握方差分析至关重要，因为它帮助我们理解不同的因素是如何影响特定结果的。在这篇文章中，我们将全面介绍两种常见的方差分析类型：单因素方差分析和双因素方差分析。
目录
- 单因素方差分析
- 双因素方差分析
- 单因素与双因素方差分析的区别
单因素方差分析是一种统计检验，用于确定三个或更多独立（不相关）组的均值之间是否存在任何统计学上的显著差异。它通过比较这些组的均值，来查看其中是否至少有一个组与其他组显著不同。
何时使用单因素方差分析？
当我们满足以下条件时，应使用单因素方差分析：
- 有一个具有三个或更多水平（组）的自变量（因子）。
- 有一个连续的因变量。
例如，假设研究人员想测试三种不同饮食对减肥的影响。这些饮食被标记为饮食 A、饮食 B 和饮食 C。我们记录了每种饮食参与者的体重减轻数据（以磅为单位），并使用单因素方差分析来确定不同饮食之间的减肥效果是否存在显著差异。
单因素方差分析的假设
- 观测值的独立性：从各组收集的数据应相互独立。
- 正态性：每组中的数据应近似服从正态分布。
- 方差齐性：各组之间的方差应大致相等。
如何执行单因素方差分析
步骤 1：陈述假设
零假设 ($H_0$)：所有组的均值都相等。
备择假设 ($H_1$)：至少有一个组的均值是不同的。
步骤 2：计算方差分析表
假设有 k 个类别，每个类别 $ki$ 包含 $ni$ 个元素，均值为 $\mui$，且 $n = n1 + n_2 + …$ 是元素的总数。
所有元素的总均值，即全局均值，由下式给出：
$$\mu = \frac{\sum{i=1}^{k}\mu{i}}{k}$$
现在，计算以下各项：
组间平方和 (SSB) = $\sum{i=1}^{k}n{i}(\mu_{i}-\mu)^2$
SSB 衡量的是自变量不同组（或水平）均值之间的变异。它计算每个组均值与所有观测值的总均值相差多少。
组内平方和 (SSW) = $\sum{i=1}^{k} \sum{j=1}^{ni} (x{ij} – \mu_{i})^2$
其中 $x_{ij}$ 是第 $i$ 组/类中的第 $j$ 个元素。
SSW 衡量的是自变量每个组（或水平）内部的变异。它计算每个单独的观测值与其组均值相差多少。
总平方和 (SST) = SSB + SSW
组间均方和 (MSSB) = $\frac{\text{SSB}}{\text{k-1}}$
组内均方和 (MSSW) = $\frac{\text{SSW}}{\text{n-k}}$
平方和
均方和
—
—
SSB
MSSB
SSW
MSSW
SST
-接下来，找出 F 比率，公式如下：
$$\text{f-ratio} = \frac{\text{组间方差 (MSSB)}}{\text{组内方差 (MSSW)}}$$
步骤 3：找出临界 f 值
使用 F 表查找 $f_{(k-1,n-k)}$ 的临界值。请参考 F 检验的相关文章以了解更多信息。
步骤 4：做出决策
比较计算出的 f 比率与临界值，并做出如下决策：
- 如果临界 f 值 > 计算出的 f 值，则接受零假设，这意味着所有组的均值都相等。
- 如果临界 f 值 < 计算出的 f 值，则拒绝零假设，这意味着至少有一个组的均值是不同的。
单因素方差分析示例
让我们以测试三种不同饮食对减肥影响为例。这些饮食被标记为饮食 A、饮食 B 和饮食 C。我们记录了每种饮食下参与者的体重减轻数据（以磅为单位）。
饮食 A
饮食 C
—
—
25
24
30
30
36
28
38
25
31
28步骤 1：陈述假设
零假设 ($H0$)：$\mu1 = \mu2 = \mu3$
备择假设 ($H1$)：$\mu1
eq \mu_2
eq \mu_3$
步骤 2：计算方差分析表
对于饮食 A，均值 ($\mu_1$) = $\frac{25+30+36+38+31}{5} = \frac{160}{5} = 32$
对于饮食 B，均值 ($\mu_2$) = $\frac{31+39+38+42+35}{5} = \frac{185}{5} = 37$
对于饮食 C，均值 ($\mu_3$) = $\frac{24+30+28+25+28}{5} = \frac{135}{5} = 27$
因此，全局均值 ($\mu$) = $\frac{32+37+27}{3} = \frac{96}{3} = 32$
现在，计算：
SSB = $\sum{i=1}^{k}n{i}(\mu_{i}-\mu)^2 = 5(32-32)^2 + 5(37-32)^2 + 5(27-32)^2 = 250$
SSW = $\sum{i=1}^{k} \sum{j=1}^{ni} (x{ij} – \mu_i)^2$
(注：此处原文示例未完，通常我们会继续计算 SSW、MSSB、MSSW 和 F 值来完成分析)