表格法，也被称为“分部积分法”，是一种在需要重复进行分部积分时，对函数乘积进行积分的有效方法。这种方法对于包含多项式与指数或三角项的函数特别有用。
在本文中，我们将详细讨论该方法，包括各种已解决的示例。
目录
- 如何使用表格法进行积分
- 使用表格法积分的示例
- 表格法的优势
- 表格积分的已解示例
- 表格积分的练习题
为了使用表格法对两个函数的乘积进行积分，我们可以遵循以下步骤：
> – 步骤1：确定 u 和 dv。
>
> 从积分表达式 ∫u dv 中选择 u 和 dv，使得 u 是一个在求导后会简化的函数，而 dv 是一个在积分后仍易于处理的函数。
>
> – 步骤2：创建表格。
>
> 建立一个包含两列的表格。将左列标记为“求导”，右列标记为“积分”。
>
> – 步骤3：填充列。
>
> 在“求导”列中，列出 u 及其连续的导数，直到结果为零。
>
> 在“积分”列中，列出 dv 及其连续的积分。
>
> – 步骤4：分配符号。
>
> 从第一行开始用正号交替符号。符号的顺序将是 +, − , + , − , . . .
>
> – 步骤5：构造乘积项。
>
> 对于每一行，将“求导”列中的条目与“积分”列中其右下方对角线位置的条目相乘。
>
> – 步骤6：对各项求和。
>
> 结合带有相应符号的各项以形成积分结果。
为了更好地理解，让我们来看一个例子。
使用表格法积分的示例
让我们使用表格法来求解 ∫xex dx。
- 确定 u 和 dv：
- 设 u = x
- 设 dv = ex dx
- 创建表格：
积分
—
ex
ex
– 分配符号：
积分
—
ex
ex
- 构造乘积项：
- (+)x⋅ex
- (−)1 ⋅ ex
- 对各项求和
- \int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C
因此，最终结果是：\int x e^x \, dx = e^x (x – 1) + C
表格法的优势
使用表格法积分的一些主要优势：
- 效率高：表格法简化了分部积分的过程，特别是在需要多次迭代时，使其速度更快且不易出错。
- 简化重复积分：对于需要重复应用分部积分法的积分，表格法以清晰的表格格式组织步骤，降低了复杂性。
- 减少记忆负担：通过将导数和积分排列在表格中，该方法最大限度地减少了多次记忆和应用分部积分公式的需要，使其更容易跟随。
- 易于学习和应用：该方法直观且易于学习，使学生和专业人士都能轻松掌握。
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表格积分的已解示例
示例 1：∫xcos(x) dx
解法：
- 确定 u 和 dv：
- u = x
- dv = cos(x) dx
- 创建表格：
积分
—
sin(x)
−cos(x)
– 分配符号：
积分
—
sin(x)
−cos(x)
- 构造乘积项：
- (+)xsin(x)
- (−)1⋅(−cos(x))
- 对各项求和：
- \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C
因此，最终结果是：\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C
示例 2：∫x2ex dx
解法：
- 确定 u 和 dv：
- u = x2
- dv =ex dx
- 创建表格：
积分
—
ex
ex
ex
– 分配符号：
积分
—
ex
ex
ex
- 构造乘积项：
- (+)x2ex
- (−)2xex
- (+)2ex
- 对各项求和：
- \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – 2x e^x + 2 e^x + C = e^x (x^2 – 2x + 2)