函数被定义为一种关系，它能为特定的输入值提供特定的输出。函数具有定义域和陪域（值域）。通常用 f(x) 表示一个函数，其中 x 是函数的输入。一般来说，函数写作 y = f(x)。
> 函数是集合 A 和集合 B 之间的一种关系。这种关系使得集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有像（映像），且集合 A 中没有元素在集合 B 中拥有不止一个像。
设 A 和 B 为两个非空集合。从 A 到 B 的函数或映射 f 写作 f: A → B，这是一个规则，根据该规则，A 中的每个元素 a ∈ A 都与 B 中的一个唯一元素 b ∈ B 相关联。
!函数测试
目录
- 函数的定义域、陪域和值域
- 函数的表示
- 数学中的函数类型
- 总结：函数的类型
- 函数类型例题详解
函数的定义域、陪域和值域
集合 X 的元素称为 f 的定义域，集合 Y 的元素称为 f 的陪域。集合 X 的元素的像称为函数的值域，它始终是 Y 的子集。下图展示了函数的定义域、陪域和值域。
上图展示了函数的定义域、陪域和值域。请注意，只有被映射的元素才会被计入值域，如图所示。上述函数的定义域、陪域和值域分别为：
> – 定义域 = {a, b, c}
> – 陪域 = {1, 2, 3, 4, 5}
> – 值域 = {1, 2, 3}
了解更多关于定义域和值域的信息。
函数的表示
函数的表示形式主要有三种。我们需要表示函数以展示定义域的值及其之间的关系。函数可以通过代数形式、图形格式以及其他枚举形式（Roster Form）来表示。
- 代数形式： 函数通常由方程 y = f(x) 表示，它连接了 y 轴上的值。
- 图形形式： 如果借助坐标轴以图形形式表示，函数就很容易理解，这有助于我们理解函数的变化行为，即函数是递增还是递减。
- 枚举形式： 集合的枚举法是集合的一种简单数学表示形式。在这种表示法中，函数通过其图像上的一组点来表示，这些点的第一个和第二个元素分别是定义域和值域中的元素。
数学中的函数类型
简单函数的一个例子是 f(x) = x3。在这个函数中，f(x) 取 “x” 的值，然后对其进行立方运算以求出函数的值。
例如，如果 x 的值取为 2，则函数给出 8 作为输出，即 f(2) = 8。
函数的其他一些例子有：
> – f(x) = cos x,
> – f(x) = 5x2 + 9,
> – f(x) = 1/x3, 等。
数学中有几种类型的函数。其中一些重要的类型包括：
- 单射函数
- 多对一函数
- 满射函数
- 内射函数
单射函数
如果 X 中不同元素在 f 下的像是不同的，则函数 f: X → Y 被称为单射函数。因此，如果 f(x1) = f(x2)，则 f 是单射的，当且仅当 x1 = x2。
- 性质： 如果 f(x1) = f(x2) 蕴含 x1 = x2，则函数 f: A → B 是单射的，即 A 中不同元素在 f 映射（函数）下的像是不同的。
- 成为单射函数的条件： 映射后，定义域的每一个元素在陪域中都有唯一的像。
!单射函数
> 了解更多关于单射函数的信息。
单射函数示例
一些单射函数的例子包括：
- f(x) = x （恒等函数）
- k(x) = 2x + 3 （一次多项式）
- g(x) = ex （指数函数）
- h(x) = √x （平方根函数，定义域为 x ≥ 0）
多对一函数
如果一个函数不是单射函数，那么它就是多对一函数。这意味着定义域中的多个元素可以在映射后在陪域中拥有同一个像。
- 性质： 一个或多个元素在陪域中拥有相同的像。
- 成为多对一函数的条件： 至少有一个