我们将幂等矩阵定义为一种方阵，当它与其自身相乘时，结果仍然是原矩阵。
考虑一个任意阶的方阵 "P"，当且仅当 P2 = P 时，矩阵 P 被称为幂等矩阵。
> – 幂等矩阵是奇异矩阵，并且可以包含非零元素。
> – 每个单位矩阵也都是幂等矩阵，因为单位矩阵自乘的结果仍然是其本身。
幂等矩阵示例
下面给出的矩阵是一个阶数为 "2 × 2" 的幂等矩阵。
> A_{22} = \left[\begin{array}{cc} 4 & -1\\ 12 & -3 \end{array}\right]
下面给出的矩阵是一个阶数为 "3 × 3" 的幂等矩阵。
> B_{33} = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & -5\\ -1 & 4 & 5\\ 1 & -3 & -3 \end{array}\right]
幂等矩阵公式
让我们考虑一个 "2 × 2" 的方阵：P = \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right]。
由于 P 是一个幂等矩阵，满足 P2 = P。
\left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right]\times\left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc} a^{2}+bc & ab+bd\\ ac+cd & bc+d^{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right]
现在，通过比较等式两边的项，我们得到
- a2 + bc = a
bc = a − a2
- ab + bd = b
ab + bd − b = 0
b (a + d − 1) = 0
b = 0 或者 a + d − 1 = 0
d = 1 − a
> 因此，如果一个矩阵 P = \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right] 被称为幂等矩阵，那么必须满足 bc = a − a2 且 d = 1 − a。
幂等矩阵的性质
以下是幂等矩阵的一些重要性质：
- 每个幂等矩阵都是方阵。
- 除了单位矩阵外，所有幂等矩阵都是奇异矩阵。
- 幂等矩阵的行列式要么是 1，要么是 0。
- 幂等矩阵的非对角线元素可以是非零项。
- 幂等矩阵的迹总是一个整数，并且等于该矩阵的秩。
- 幂等矩阵的特征值要么是 0，要么是 1。
- 以下是幂等矩阵与对合矩阵之间的关系：
> 一个方阵 "A" 是幂等矩阵，当且仅当 P = 2A − I 是一个对合矩阵。
其中对合矩阵满足 P = P-1。
相关文章
幂等矩阵例题解析
例题 1：验证下面给出的矩阵是否为幂等矩阵。
P = \left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ -3 & -2 \end{array}\right]
解：
> 为了证明给定矩阵是幂等矩阵，我们必须证明 P2 = P。
>
> P^{2} = \left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ -3 & -2 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ -3 & -2 \end{array}\right]
>
> P^{2} = \left[\begin{array}{cc} 9-6 & 6-4\\ -9+6 & -6+4 \end{array}\right]
>
> P^{2} = \left[\begin{array}{cc} 3 & 2\\ -3 & -2 \end{array}\right] = P
>
> 因此，验证完成。
>
> 所以，给定的矩阵 P 是一个幂等矩阵。
例题 2：验证下面给出的矩阵是否为幂等矩阵。
B = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & -4\\ -1 & 3 & 4\\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right]
解：
> 为了证明给定矩阵是幂等矩阵，我们必须证明 B2 = B。
>
> B^{2} = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & -4\\ -1 & 3 & 4\\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & -4\\ -1 & 3 & 4\\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right]
>
> B^{2} = \left[\begin{array}{ccc} (4+2-4) & (-4-6+8) & (-8-8+12)\\ (-2-3+4) & (2+9-8) & (4+12-12)\\ (2+2-3) & (-2-6+6) & (-4-8+9) \end{array}\right]
>
> B^{2} = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & -4\\ -1 & 3 & 4\\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right]= B
>
> 因此，验证完成。
>
> 所以，给定的矩阵 B 是一个幂等矩阵。
例题 3：给出一个 2 × 2 阶幂等矩阵的例子。
解：
> 我们知道矩阵 A = \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right] 被称为幂等矩阵的条件是：bc = a − a2 且 d = 1 − a。
>
> 让我们假设 a = 5
>
> 我们有 d = 1 − a
>
> d = 1 − 5 = −4
>
> bc = a − a2
>
> bc = 5 − 25 = −20
>
> 现在，令 b = 4 且 c = −5
>
> 所以，该矩阵为 A = \left[\begin{array}{cc} 5 & 4\\ -5 & -4 \end{array}\right]
例题 4：证明单位矩阵是幂等矩阵。
解：
> 为了证明给定矩阵是幂等矩阵，我们必须证明 I2 = I。
>
> 让我们考虑一个 2 × 2 阶的单位矩阵，即 I