向量的标量积

> 两个向量 A 和 B 的标量积定义为：

>

> \boxed{\overrightarrow{\rm A} \cdot \overrightarrow{\rm B}=

\,

\cos\theta}

>

> 其中

>

\, \, and \, \,

是向量的模（大小），而

> \theta 是它们之间的夹角。

>

> 由于这种乘法用一个点（·）表示，所以被称为点积。

单位向量表示法下的标量积

在向量的单位向量表示法中，i、j、k 分别沿着 x 轴、y 轴和 z 轴方向。我们可以按如下方式计算标量积：

\overrightarrow{\rm A}.\overrightarrow{\rm B} = Ax Bx + AyBy + AzBz

其中，

\overrightarrow{\rm A} = Ax \hat i +Ay \hat j +A_z \hat k

ewline\overrightarrow{\rm B} = Bx \hat i +By \hat j + B_z \hat k

标量积的矩阵表示

除了使用上述单位向量外，将向量表示为行矩阵或列矩阵也非常有用。如果我们把向量当作由其 x、y 和 z 分量组成的列矩阵，那么这些向量的转置就是行矩阵。

现在，矩阵 A 和矩阵 B 看起来像这样：

\overrightarrow{A^T} = \begin{bmatrix}Ax & Ay & A_z \end{bmatrix}

\overrightarrow{\rm B}= \begin{bmatrix} Bx \\ By \\ B_z \end{bmatrix}

这两个矩阵的矩阵乘积将给我们这两个矩阵的标量积，即给定两个向量对应分量的和，最终得到的数字就是向量 A 和向量 B 的标量积。

\begin{bmatrix}Ax & Ay & Az \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} Bx \\ By \\ Bz \end{bmatrix} = Ax.Bx + Ay.By + Az.Bz = \overrightarrow{\rm A}\, .\, \overrightarrow{\rm B}

物理解释

从几何角度看，标量积表示一个向量的模与另一个向量在该向量方向上的分量的乘积。它衡量了一个向量在另一个向量方向上的作用程度。

几何解释

两个非零向量的乘积，可以形象地看作是其中一个向量的模，乘以另一个向量在它上面的投影的模。

情况 1： 当两个向量之间的夹角为 0°< θ <90° 时，标量积为正。

情况 2： 当两个向量之间的夹角为 90°< θ <180° 时，标量积为负。

情况 3： 当两个向量之间的夹角 θ = 90° 时，标量积为0（零） 。

标量积的特殊情况

(1) 两个平行向量的标量积： 两个平行向量的标量积仅仅是它们模的乘积。因为当向量平行时，它们之间的夹角为 0 度，且 cos 0= 1。

因此，

a.b =

×

cos 0

=

×

(2) 两个反平行向量的标量积： 两个反平行向量的标量积是它们模乘积的负值。

a.b cos 180 = −

×

(因为，cos 180 = -1)

(3) 两个正交向量的标量积： 两个正交向量的标量积为 0。

a.b cos 90 = 0 (因为，cos 90 = 0)

向量标量乘法的性质

1. 标量乘法的交换律： 如果 a 和 b 是两个向量，那么：-

> a.b = b.a

>

> 因为，a.b =

cos θ 且 b.a =

cos θ，所以 a.b = b.a

2. 对向量加法的分配律： 如果 a, b, c 是向量，那么：

> a.(b+c) = a.b + a.c

3. 结合律： 如果 a 是向量，c, d 是标量，那么：

> c (da) = (cd) a

4. 标量乘法：标量积与标量乘法是一致的，如果 u, v 是常数，a, b 是向量，那么：

> (u a). (v b) = u v ​(a. b)

5. 正交性：如果两个向量的标量积为零，则它们是正交的，

> 即，如果 u . v = 0，则向量 u 和 v 正交。

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