帕累托分布 (Pareto Distribution) 是一种连续概率分布，它以意大利经济学家 维尔弗雷多·帕累托 (Vilfredo Pareto) 的名字命名。他在 1897 年研究财富分布时引入了这一概念。
它因能够对“少数关键事件导致了大部分效果”这种现象进行建模而广为人知。这种分布通常与 帕累托法则 (Pareto Principle) 联系在一起，也被称为 80/20 法则，该法则指出大约 80% 的后果源自 20% 的原因。
> 帕累托分布的一些示例包括：
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> – 在许多经济体中，帕累托法则适用于财富分配。一小部分个人控制了绝大部分的财富。
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> – 互联网流量的分布遵循帕累托分布。少数网站接收了大部分流量。例如，Google、Facebook 和 YouTube 等网站占据了大部分网络流量，而绝大多数较小的网站只占总流量的一小部分。
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> – 城市人口规模通常呈现出帕累托分布。少数大城市（如伦敦、纽约或东京）容纳了很大一部分总人口，而大多数城市则相对较小。
!Parerto-2帕累托分布图
目录
- 帕累托分布的性质
- 帕累托法则 (80/20 法则)
帕累托分布的性质
让我们深入探讨帕累托分布的关键性质：
帕累托分布的概率密度函数 (PDF)
帕累托分布的概率密度函数如下所示：
> f(x) = \frac{\alpha xm^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} \quad \text{for} \quad x \geq xm, \, \alpha > 0
其中：
- α 是 形状参数 (shape parameter)（也称为“尾指数”）。
- xm 是 尺度参数 (scale parameter)，代表可能的最小值。
- x 是随机变量的值。
PDF 表明，对于较高的 α 值，分布的衰减速度更快，这意味着出现极值的概率较小。
帕累托分布的累积分布函数 (CDF)
累积分布函数表示变量 X 小于或等于某个值 x 的概率。其表达式为：
> F(x) = 1 – \left( \frac{xm}{x} \right)^\alpha \quad \text{for} \quad x \geq xm
这显示了小于或等于 x 的值的比例。
帕累托分布的参数
- 形状参数 (α)：控制尾部的“厚度”。α 值越高，表示分布中出现较大值的几率越少（尾部越细）；而 α 值越小，则表示这是一个重尾分布。
- 尺度参数 (xm)：表示分布可能的最小值。所有值都必须大于或等于这个最小值。
帕累托分布的均值和方差
- 均值 (Mean)（期望值）：E(X)= \frac{\alpha x_m}{\alpha – 1} \quad \text{for} \quad \alpha > 1。如果 \alpha \leq 1，均值是未定义的（分布没有有限的均值）。
- 方差 (Variance)：Var(X)= \frac{\alpha x_m^2}{(\alpha – 1)^2 (\alpha – 2)} \quad \text{for} \quad \alpha > 2。如果 \alpha \leq 2，方差是无限的，这意味着分布没有有限的方差。
帕累托法则 (80/20 法则)
帕累托分布的一个常见应用是 帕累托法则，或 80/20 法则，它指出大约 80% 的后果来自 20% 的原因。这是帕累托分布偏态性质的一个结果，即一小部分事件对总结果做出了不成比例的贡献。
!Parerto-1帕累托分布
帕累托分布的例题详解
题目 1. 假设随机变量 X 服从帕累托分布，其中形状参数 α = 3，尺度参数 xm = 2。求该分布的均值。
#### 解答：
> 帕累托分布的均值 E(X) 由以下公式给出： E(X) = \frac{\alpha x_m}{\alpha – 1} \quad \text{for} \quad \alpha > 1
>
> 将给定的值 α = 3 和 xm = 2 代入：
> E(X) = \frac{3 \times 2}{3 – 1} = \frac{6}{2} = 3
>
> 因此，该分布的均值是 3。
题目 2. 求参数为 α = 3 且 xm = 2 的帕累托分布的均值。
解答：
> 使用均值公式： Mean= \frac{\alpha x_m}{\alpha – 1}
> Mean = \frac{3 \cdot 2}{3 – 1} = \frac{6}{2} = 3
>
> 因此，Mean = 3
题目 3. 假设 X 服从形状参数 α = 2 且尺度参数 xm = 1 的帕累托分布。X 大于等于 3 的概率是多少？
#### 解答：
> 帕累托分布的 累积分布函数 (CDF) 为： F(x) = 1 – \left( \frac{xm}{x} \right)^\alpha \quad \text{for} \quad x \geq xm
>
> 我们需要求 P(X \geq 3)。根据定义，这等于 1 – F(3)。
> 1 – F(3) = 1 – \left[ 1 – \left( \frac{1}{3} \right)^2 \right] = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}
>
> 因此，X ≥ 3 的概率是 1/9。