菱形是一种四边长度相等的平行四边形。它也被称为等边四边形。下图展示了一个菱形。
菱形的性质
- 菱形的所有边都相等。
- 菱形的对边平行。
- 菱形的对角相等。
菱形对角线的性质
- 在菱形中，对角线在直角处相互平分。
- 对角线平分菱形的角。
证明
#### 1. 如果一个四边形是菱形，那么它的对角线是相互垂直的平分线。
首先，我们将证明对角线互相平分，然后证明对角线相互垂直。
(a) 对角线互相平分
证明：
> 由于菱形是平行四边形，所以其对边平行且相等。
>
> 因此，在三角形 AOD 和 COB 中，我们有
>
> AD = CB (对边)
>
> ∠ADO = ∠CBO (内错角)
>
> ∠DAO = ∠BCO (内错角)
>
> 因此，这两个三角形全等。
>
> 因此 AO = CO 且 DO = BO。
>
> 因此，对角线互相平分。
(b) 对角线相互垂直
证明：
> 已知 ABCD 是一个菱形
>
> AB = AD (菱形的定义)
>
> AO = AO (公共边)
>
> BO = OD (如上所述，对角线互相平分)
>
> △AOD ≅ △AOB (边-边-边公理)
>
> ∠AOD ≅ ∠AOB (全等三角形的对应角)
>
> 同时 ∠AOD + ∠AOB = 180°
>
> 因此 AC ⊥ DB。
>
> 因此，对角线是相互垂直的平分线。
#### 2. 菱形的面积等于对角线乘积的一半。
证明：
> 已知 ABCD 是一个菱形，对角线 AC 和 BD 在点 O 相交。
> 现在我们知道 ∠AOD = ∠AOB = ∠COD = ∠BOC = 90 度。
>
> 因此我们可以看到菱形 ABCD 被平均分成了四个部分。
>
> 所以菱形 ABCD 的面积 = 三角形 AOD 的面积 + 三角形 AOB 的面积 + 三角形 BOC 的面积 + 三角形 COD 的面积。
>
> 1/2 × AO × OD + 1/2 × AO × OB + 1/2 × BO × OC + 1/2 × OD × OC
>
> = 1/2 × AO (OD + OB) + 1/2 × OC (BO + OD)
>
> = 1/2 × (OD + OB) × (AO + OC)
>
> 因此，菱形的面积等于对角线乘积的一半。
示例
示例 1：计算一个对角线长度分别为 20 cm 和 10 cm 的菱形的面积。
解决方案：
> 我们已知
>
> d1 = 20 cm
>
> d2 = 10 cm
>
> 菱形的面积 A = (d1 × d2) / 2
>
> = (20 × 10) / 2
>
> = 100 cm2
>
> 因此，该菱形的面积为 100 cm2。
示例 2：求一个菱形的面积，其每条边长为 25 cm，其中一条对角线的长度为 14 cm。
解决方案：
> ABCD 是一个菱形，其中 AB = BC = CD = DA = 25 cm
>
> AC = 14 cm
>
> 菱形的面积 = 1/2 d1 d2
> 因此，BO = 7 cm
>
> 在三角形 AOB 中，
>
> AB² = AO² + OB²
>
> ⇒ 25² = 7² + OB²
>
> ⇒ 625 = 49 + OB²
>
> ⇒ 576 = OB²
>
> ⇒ OB = 24
>
> 因此，BD = 2 x OB = 2 × 24 = 48 cm
>
> 现在，菱形的面积 = 1/2 × d₁ × d₂ = 1/2 × 14 × 48 = 336 cm²
>
> 因此，该菱形的面积为 336 cm2。
示例 3：求一个面积为 400 m² 且周长为 160 m 的菱形的高度。
解决方案：
> 已知，菱形的周长 = 160 m
>
> 所以，菱形的边长 = 160/4 = 40 m
>
> 我们知道任何平行四边形的面积 = b × h
>
> 因此高度为：
>
> ⇒ 400 = 40 × h
>
> ⇒ h = 10 m
>
> 因此，该菱形的高度为 10 m。
1. 给定一个边长为 8 cm 的菱形，如果其对角线成直角相交且面积为 96 cm²，求每条对角线的长度。
2. 一个菱形的对角线长度分别为 10 cm 和 24 cm。计算其面积。
3. 在一个菱形中，一个角为 60°。找出所有其他角的度数。
4. 如果菱形的每条边长为 7 cm，求其周长。
总结
菱形是一种特殊的平行四边形，其所有边的长度都相等，且对角线在直角处相互平分。这种几何图形因其相等的边长和对称性质而显得独特。理解菱形的性质有助于我们解决各种几何问题，并在对称性和等距离性至关重要的应用场景中发挥作用。