有理函数是一种用分式形式表示的函数，其分子和分母都是多项式，且分母不能为零。
> 有理函数是一个数学表达式，表示两个 多项式函数 的比值。其核心条件是分母绝不能为零。
数学表示：
有理函数可以写成：\mathbf{f(x)} = \frac{\mathbf{g(x)}}{\mathbf{h(x)}}
其中，f(x)、g(x) 和 h(x) 都是关于变量 x 的多项式，且 h(x) ≠ 0。
有理函数示例
以下是一些有理函数的示例：
- f(x) = x + 1/(x + 2),
- f(x) = x2 – 1/(x2 + 1),
- f(x) = 3x/(x2 – 4),
- f(x) = x3/(x + 8),
- f(x) = 2x/(1 – 4x),
- f(x) = 7×2/(8×3 + 4).
> 注意：- 如果分母是一个非零常数，那么该有理函数可以简化为多项式函数。
有理函数的性质
有理函数具有多种性质，如下所示：
1) 有理函数的定义域
2) 有理函数的值域
3) 有理函数的渐近线
- 水平渐近线
- 垂直渐近线
- 斜渐近线
4) 有理函数的空洞
有理函数的定义域
我们知道，有理函数的分母永远不能为零。这一事实被用来求解有理函数的定义域和值域。要计算有理函数的定义域，请遵循以下步骤：
- 令分母的值等于零。
- 找出使分母为零的变量的值。
- 因此，函数的定义域是所有实数 R 的集合，但不包括使分母为零的那些值。
有理函数的值域
要计算值域，需遵循以下步骤：
- 令 f(x) = y。
- 解关于变量 x 的方程。
- 现在使用分母不等于零的条件。
- 根据上述条件找出 y 的值。
- 函数的值域是所有实数 R 的集合，但不包括如此求得的 y 值。
让我们通过一个示例来理解有理函数的定义域和值域。
示例： 考虑一个有理函数 (x+2)/(x+1)，求其定义域和值域。
解：
> 为了计算给定函数的定义域，我们可以遵循以下步骤：
>
> 将分母设为零，即 x + 1 = 0，解得 x = -1。
>
> 因此，函数的定义域是 R – {-1}。
>
> 函数的值域计算如下：
>
> 令 f(x) = y = (x + 2)/(x + 1)
>
> 解关于 x 的方程
>
> y(x + 1) = x + 2
> ⇒ xy + y = x + 2
> ⇒ xy – x = 2 – y
> ⇒ x(y – 1) = 2 – y
> ⇒ x = (2 – y)/(y – 1)
>
> 保持分母不等于零，即 y – 1 ≠ 0，这意味着 y ≠ 1。
>
> 因此，函数的值域是实数集合 R – {1}。
有理函数的渐近线
所有的有理函数都有三种类型的渐近线，它们分别是：
垂直渐近线
有理函数的垂直渐近线是一条平行于 y 轴的直线，其形式为 x=a，其中 a 是任意数。这条直线看起来像是接触了有理函数的图像，但实际上从未接触。有理函数可以有一条或多条垂直渐近线。要找到有理函数的垂直渐近线，需遵循以下步骤：
- 将有理函数化简为最简形式，并消去分子和分母中的所有公因式。
- 令分母等于零，找出使分母为零的变量的值。
水平渐近线
有理函数的水平渐近线是一条平行于 x 轴的直线，其形式为 y=a，其中 a 是任意数。这条直线看起来像是接触了有理函数的图像，但实际上从未接触。有理函数只能有一条水平渐近线。我们可以通过比较分子和分母的次数来计算有理函数的水平渐近线，如下所示：
- 设 N 和 D 分别为分子和分母的次数。
- 如果 N < D，水平渐近线为 y=0。
- 如果 N > D，则没有水平渐近线。
- 如果 N = D，水平渐近线为 y = 分子与分母最高次项系数的比值。
斜渐近线
这是一条斜线，它看起来像是接触了有理函数的图像，但实际上从未接触。它仅出现在分子次数 N = 分母次数 D + 1 的情况下。斜渐近线等于商