在我们深入探讨各种概率分布时，泊松分布 是一个我们必须掌握的关键概念。它是一种用于模拟在固定时间间隔或空间内事件发生次数的概率分布。在这些场景中，事件以已知的平均恒定速率发生，且独立于上一次事件发生的时间。
泊松分布公式
在开始练习之前，让我们先回顾一下表格中列出的 泊松分布 的重要公式。这些是我们解决后续练习题的基础。
P (X = x) = [ƛx × e-ƛ] / x!
—
ƛ = np
Var(X) = ƛ = np
σ = √ƛ = √(np)## 泊松分布练习题 – 已解答
下面让我们通过一系列例题来巩固这些知识。
问题 1: 如果一家公司生产的产品中有 2% 是有缺陷的。请计算在由 100 个物品组成的样本中，有缺陷物品少于 1 个的概率。
> 解析：
> 这里，n = 100, p = (2/100) = 0.02, q = 0.98, ƛ = np = 2
>
> 所需概率的公式由下式给出：
>
> P (X = x) = [ƛx × e-ƛ] / x!
>
> 我们需要求的是 P(X < 1)，这等同于 P(X = 0)
>
> P(X < 1) = P(X = 0)
>
> P(X < 1) = [20 × e-2] / 0!
>
> P(X < 1) = e-2
问题 2: 如果在考试中选择错误答案的概率是 0.01，请确定在 500 名学生中，有超过 1 人选择错误答案的几率。
> 解析：
> 这里，n = 500, p = 0.01, ƛ = np = 5
>
> 概率公式如下：
>
> P (X = x) = [ƛx × e-ƛ] / x!
>
> 我们的目标是计算 P(X > 1)，其补集为 P(X=0) 和 P(X=1)：
>
> P(X > 1) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]
>
> 计算 P(X = 0)：
>
> P(X = 0) = [50 × e-5] / 0! = e-5
>
> 计算 P(X = 1)：
>
> P(X = 1) = [51 × e-5] / 1! = 5e-5
>
> 将它们相加：
>
> P(X = 0) + P(X = 1) = e-5 + 5e-5 = 6e-5
>
> 最终结果：
>
> P(X > 1) = 1 – 6e-5
>
> P(X > 1) = 0.960
问题 3: 一个人平均每小时发送 2 封邮件。请问他在给定的一小时内不发送任何邮件的概率是多少？
> 解析：
> Mean = 2
>
> 概率公式为：
>
> P (X = x) = [ƛx × e-ƛ] / x!
>
> 我们需要计算 P(X = 0)：
>
> P(X = 0) = [20 × e-2] / 0! = e-2
>
> P(X = 0) = 0.135
问题 4: 给定试验次数为 20，成功概率为 0.6，请计算该泊松分布的均值。
> 解析：
> 泊松分布的均值由下式给出：
>
> Mean = np
>
> 这里，n = 20 且 p = 0.6
>
> Mean = 20 × 0.6
>
> Mean = 12
问题 5: 已知泊松分布的方差为 4，请求其均值。
> 解析：
> 我们知道，
>
> 在泊松分布中，Mean = Variance = np
>
> 因此，
>
> Mean = Variance
>
> Mean = 4
问题 6: 给定试验次数为 50，失败概率为 0.3，请计算该泊松分布的方差和标准差。
> 解析：
> 泊松分布中方差和标准差的公式如下：
>
> Variance = np 且 Standard Deviation = √(np)
>
> 这里，n = 50, p = 1 – q = 0.7
>
> 方差计算：
>
> Variance = n × p
>
> Variance = 50 × 0.7 = 35
>
> 标准差计算：
>
> Standard Deviation = √Variance
>
> Standard Deviation = √35
泊松分布练习题 – 待解答
现在是时候让我们自己动手尝试一下了。以下是留给您的练习题。
Q1. 如果一家公司生产的产品中有 5% 是有缺陷的。请计算在由 200 个物品组成的样本中，有缺陷物品少于 3 个的概率。
Q2. 如果在考试中选择错误答案的概率是 0.001，请确定在 1000 名学生中，有超过 3 人选择错误答案的几率。
Q3. 一家商店平均每小时有 10 名顾客。请问在一小时内恰好有 12 名顾客到达的概率是多少？
Q4. 给定试验次数为 100，成功概率为 0.9，请计算该泊松分布的均值。
Q5. 已知泊松分布的方差为 20，请求其均值。
Q6. 给定试验次数为 200，成功概率为 0.8，请计算该泊松分布的方差和标准差。