2D 和 3D 图形求公式简介 | 示例

求长法（Mensuration）是数学的一个分支，专门研究各种几何图形和形状的测量。这包括计算二维形状——如正方形、矩形、圆形和三角形——的面积、体积和周长，以及三维图形——如立方体、圆柱体、球体和圆锥体——的相关数值。

这些形状主要存在于两种形式中：

• 二维形状 (2D Shapes) – 圆形、三角形、正方形等。
• 三维形状 (3D Shapes) – 立方体、长方体、圆锥体等。

二维与三维形状的区别

2D 与 3D 形状对比 —

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2D 形状

3D 形状

如果一个形状在平面上由三条或更多条直线围成，那么它就是二维的。

如果一个形状周围有多个表面或平面，那么它就是三维形状。

这些形状没有高度或深度。

与二维形状不同，这些形状有时被称为立体形状，具有高度或深度。

这些形状只有长和宽两个维度。

由于它们具有深度（或高度）、宽度和长度，因此被称为三维物体。

我们可以计算它们的周长和面积。

我们可以计算它们的体积、曲面积、侧面积或总表面积。## 求长法术语表

在求长法的学习中，我们会遇到很多术语。为了方便理解，我们整理了这份列表，包含术语名称、缩写、单位及其定义。

术语

缩写

单位

定义

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面积

A

m2 或 cm2

封闭图形所覆盖的表面被称为面积。

周长

P

cm 或 m

周长是指围绕指定图形的连续线的长度。

体积

V

cm3 或 m3

三维形状所占用的空间被称为其体积。

曲面积

CSA

m2 或 cm2

如果存在曲面，曲面的总面积被称为曲面积。例如：球体。

侧面积

LSA

m2 或 cm2

“侧面积”是指包围给定图形的所有侧面的总面积。

总表面积

TSA

m2 或 cm2

总表面积是所有曲面和侧面积的总和。

平方单位

–

m2 或 cm2

平方单位是指边长为一个单位的正方形所覆盖的面积。

立方单位

–

m3 或 cm3

边长为一个单位的立方体所占据的空间。## 2D 形状的求长公式

下表列出了所有 2D 形状的求长公式：

形状

面积 (平方单位)

周长 (单位)

图示

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正方形

a2

4a

正方形尺寸

矩形

l × b

2(l + b)

矩形尺寸

圆形

πr2

2πr

半径为 r 的圆

不等边三角形

√[s(s-a)(s-b)(s-c)],其中 s = (a+b+c)/2

a + b + c

不等边三角形尺寸

等腰三角形

½ × b × h

2a + b

等腰三角形尺寸

等边三角形

(√3/4) × a2

3a

等边三角形尺寸

直角三角形

½ × b × h

b + 斜边 + h

直角三角形尺寸

菱形

½ × d1 × d2

4 × 边长

菱形对角线

平行四边形

b × h

2(l + b)

平行四边形尺寸

梯形

½ h(a + c)

a + b + c + d

梯形尺寸了解更多：

• 梯形面积
• 多边形面积
• 一般四边形面积
• 海伦公式
• 海伦公式的应用
• 2D 形状面积
• 圆形图形的周长
• 圆的扇形和弓形面积
• 平面图形组合的面积

3D 形状的求长公式

下表列出了所有 3D 形状的求长公式：

形状

体积

曲面积 或 侧面积

总表面积

图示 —

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—

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— 立方体

a3

LSA = 4 a2

6a2

立方体尺寸 长方体

l × b × h

LSA = 2h(l + b)

2(lb +bh +hl)

长方体尺寸 球体

(4/3)πr3

4πr2

4πr2

球体尺寸 半球体

(⅔)πr3

2πr2

3πr2

半球体尺寸 圆柱体

πr2h

2πrh

2πr(r + h)

圆柱体尺寸 圆锥体

(⅓)πr2h

πrl

πr(r + l)

圆锥体尺寸

*注：l = 斜高, h = 高, r = 半径, a = 边长