什么是全正弦正切余弦法则 (All Sin Tan Cos Rule)？

三角学是数学的一个重要分支，它主要研究直角三角形中边与角之间的关系。三角学在物理学中也至关重要，常被用于计算塔高、星际距离，或应用于导航系统中。三角学基于这样一个原理：“如果两个三角形具有一组相等的角，那么它们的边长比是相同的”。即使边长不同，边的比例却是等效的。

三角函数

三角函数，也称为圆函数或三角比，展示了角度与边之间的关系。这些三角比是通过取边的比值来获得的。我们有六个主要的三角比：正弦、余弦、正切、余割、正割 和 余切。

• sin A = 垂直边 / 斜边
• cos A = 底边 / 斜边
• tan A = 垂直边 / 底边
• cot A = 底边 / 垂直边
• sec A = 斜边 / 底边
• cosec A = 斜边 / 垂直边

这里，A 是与垂直边相对的角度。让我们来看看直角三角形的垂直边、底边和斜边分别是什么：

• 垂直边： 位于角度前方的边是垂直边。例如，位于 30 度角前方的边被称为其垂直边。
• 底边： 包含该角的边中，除了斜边之外的那一条就是底边。
• 斜边： 位于 90 度角对边的边。它是三角形中最长的边。

注意： 当角度改变时，垂直边和底边也会随之改变。在一个三角形中，一条边相对于某个角是垂直边，但对于另一个角来说，同一条边可能会变成底边。然而，斜边始终保持不变，因为它永远是 90 度角的对边。

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如上图所示，对于同一个三角形，如果考虑角度 30°，垂直边是边 PQ；但如果考虑角度 60°，垂直边就是边 QR。

什么是全正弦正切余弦法则？

全正弦正切余弦法则 告诉我们三角比的正负号（正或负）。当我们计算 0° 到 360°（或 0° 到 2π）之间所有角度的三角比时，我们必须注意正弦、余弦和正切的正负号。由于其他三个三角比是这三个主要函数的倒数，它们的符号由这三种比率决定。

全正弦正切余弦法则指出：

• 当角度 θ 位于第一象限时 (0° ≤ θ ≤ 90°)所有三个比率，即 Sin、cos 和 tan 及其倒数都是正的。
• 当角度 θ 位于第二象限时 (90° ≤ θ ≤ 180°) sin 及其倒数 cosec 是正的，而在第二象限的其他比率 tan 和 cos 是负的。
• 当角度 θ 位于第三象限时 (180° ≤ θ ≤ 270°) tan 及其倒数 cot 是正的，而在第三象限的其他比率 sin 和 cos 是负的。
• 当角度 θ 位于第四象限时 (270° ≤ θ ≤ 360°)cos 及其倒数 sec 是正的，而在第四象限的其他比率 sin 和 tan 是负的。

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示例问题

问题 1. 判断 Sin(150°)、Sin(255°)、Cos(160°)、Cos(320°)、tan(170°)、tan (350°) 的正负号。
解答：

> 根据全正弦正切余弦法则，

>

> Sin(150°) = +ve (正)

>

> Sin(225°) = -ve (负)

>

> Cos(160°) = -ve (负)

>

> Cos(320°) = +ve (正)

>

> tan(170°) = +ve (正)

>

> tan(350°) = -ve (负)

问题 2：求 sin(225°)、tan(225°)、cos(225°) 的值。
解答：

> 225° 位于第三象限，根据全正弦正切余弦法则，在第三象限 tan 为正，而 sin 和 cos 为负。

>

> sin(225°) = sin(180° + 45°)

>

> Sin(225°) = -1/√2

>

> tan(225°) = sin(180° + 45°)

>

> Tan(225°) = 1

>

> Cos(225°) = Cos(180° + 45°)

>

> cos(225°) = -1/√2

问题 3：求 Sin(225°) – Cos(315°) 的值。
解答：

> Sin(225°) = -1/√2

>

> Cos(315°) = 1/√2

>

> -1/√2 – 1/√2 = – √2

>

> Sin(225°) – Cos(315°) = -√2

练习题

• 求 sin(45°) + cos(60°) 的值。
• 计算 sin(30°) – cos(90°)。
• 计算 cos(120°) + sin(30°)。
• 求 sin(90°) – cos(45°) 的值。
• 求 cos(180°) – sin(60°)。
• 计算 sin(270°) + cos(0°)。
• 计算 sin(135°) – cos(225°)。
• 求 cos(300°) + sin(150°) 的值。
• 求 sin(60°) – cos(120°)。
• 计算 cos(225°) + sin(315°)。

上述问题的答案：

• 1.207
• 0.5
• 0
• 0.293
• -1.866
• 0
• 1.414
• 1
• 1.366
• -1.414