商业统计中的几何平均数 | 概念、性质及应用

为了确定数据集的中心位置，我们可以使用多种不同的集中趋势度量方法。这些方法包括算术平均数、中位数、众数、几何平均数和调和平均数。这些度量中的每一种都有其独特之处，并具有某些特定的特征。

什么是几何平均数？

几何平均数（Geometric Mean，简称 G.M.）是一种用于各种特定领域的特殊平均数，其定义为一组数据集中 n 个值的乘积的 n 次方根。

目录

• 加权几何平均数
• 几何平均数的性质
• 几何平均数的用途

对于未分组数据：

对于一个包含 n 个观测值 $X1, X2, X3, X4, ……………X_n$ 的数据集，其几何平均数为：

$$G.M.=\sqrt[n]{X1\times{X2}\times{X3}\times{X4}\times…….X_n}$$

$$=(X1\times{X2}\times{X3}\times{X4}\times…….X_n)^\frac{1}{n}$$

例如，如果 n = 3；即数据集中只有 3 个观测值；比如说是 4、5 和 6。那么该数据集的几何平均数将是 $\sqrt{4\times{5}\times{6}}=\sqrt{120}=10.95$。

然而，如果观测值的数量 (n) 超过 3，那么计算 n 次方根就会变得既困难又耗时。在这些情况下，为了使计算更简单，我们使用对数；即，通过在上面的公式两边取对数，我们得到：

$$log (GM) = \frac{1}{n}log(X1.X2.X3……Xn)$$

$$log (G.M.) = \frac{1}{n}(log~X1+log~X2+log~X3+…….+log~Xn)$$

$$log (G.M.) = \frac{1}{n}\sum{log~X}$$

现在在两边取反对数（Antilog），我们得到：

$$G.M. = Antilog[\frac{1}{n}\sum{log~X}]$$

#### 示例：

确定以下数据的几何平均数：

6

10

7

9

8

11

12

7

—

—

—

—

—

—

—

—#### 解答：

$$log (G.M.) = \frac{1}{n}\sum{log~X}$$

$$G.M. = Antilog[\frac{1}{n}\sum{log~X}]$$

通过取每个 X 值的对数，我们得到：

X

log X

—

—

6

0.7782

10

1

7

0.8451

9

0.9542

8

0.9031

11

1.0414

12

1.0792

7

0.8451

Total

7.4463$$G.M. = Antilog[\frac{1}{n}\sum{log~X}]$$

$$= Antilog[\frac{7.4463}{8}]$$

$$= Antilog 0.93078$$

G.M. = 8.52

对于频数分布：

对于离散和连续频数分布的情况，我们使用以下方法来确定几何平均数：

• 确定 X 的对数值（对于连续分布，则为中点值）。
• 将 log X 的值与其对应的频数相乘，并计算这些乘积的总和，得到 ∑f log X。
• 将获得的值除以 ∑f，并对结果数字取反对数，以确定 G.M.。

因此，在频数分布情况下计算几何平均数的公式为：

$$G.M.=Antilog\frac{\sum{f~logX}}{\sum{f}}$$

#### 示例：

计算下列分布的几何平均数。

Class Interval

Frequency

—

—

0-10

5

10-20

10

20-30

8

30-40

4

40-50

1

50-60

2#### 解答：

Class Interval

X

Frequency (f)

log X

f log X —

—

—

—

— 0-10

5

5

0.6990

3.495 10-20

15

10

1.1760

11.760 20-30

25

8

1.3980

11.184 30-40

35

4

1.5440

6.176 40-50

45

1

1.6532

1.6532 50-60

55

2

1.7403

3.4806 Total 30 37.7488

$$G.M.=Antilog\frac{\sum{f~logX}}{\sum{f}}$$

$$G.M. = Antilog[\frac{37.7488}{30}]$$

$$G.M. = Antilog 1.2582$$

G.M. = 18.125

加权几何平均数

如果为数据集的不同值分配了权重，我们就会计算加权几何平均数。它几乎与几何平均数相同，唯一的区别是将频数 (f) 替换为权重 (W)。因此，计算加权几何平均数的公式为：

$$GM_w=Antilog\frac{\sum{W~logX}}{\sum{W}}$$

#### 示例：

计算以下数据的加权几何平均数：

X

2

4

6

8

10

12

14

—

—

—

—

—

—

—

—

W

2

5

4

3

1

4

1#### 解答：

X

W

log X

W log X

—

—

—

—

2

2

0.3010

0.602

4

5

0.6020

3.01

6

4

0.7781

3.1124

8

3

0.9030

2.709

10

1

1

1

12

4

1.0791

4.3164

14

1

1.1461

1.1461

Total

20

15.896$$GM_w=Antilog\frac{\sum{W~logX}}{\sum{W}}$$

$$= Antilog[\frac{15.896}{20}]$$

$$= Antilog 0.7948$$

G.M. = 6.23

> 注意： 请记住，如果给定数据集中的任何值为负数或零，则无法计算几何平均数的值。此外，如果给定数据集是开口式分布，则无法获得几何平均数的值，因为为了确定 G.M.，需要所有组距的 X 值。

几何平均数的性质

几何平均数的不同代数性质如下：

1. n 个值的乘积与将每个值替换为其几何平均数后获得的乘积相同。简单来说，

$$X1 \times X2 \times X3 \times X4 \times ……….. \times X_n = (GM)^n$$

例如，4、8、4 的几何平均数…