两个或多个数字的 LCM（最小公倍数） 是能被所有这些数字整除的最小数。对于 多项式 而言，LCM 指的是能被给定多项式整除的次数最低（即最简）的多项式表达式。
> 示例： 让我们选取两个多项式：(x2 + 2x) 和 (x2 − 4)。
>
> 通过进行因式分解：
> (x2 + 2x) = x (x − 2)
> (x2 − 4) = (x + 2)(x – 2)
>
> LCM( (x2 + 2x) 和 (x2 − 4) ) = x(x + 2)(x − 2) = (x3 – 4x)
如何求多项式的最小公倍数？
在求多项式的 LCM 时，我们的目标是找到能被给定多项式整除的“最小”多项式，就像数字的 LCM 是能被每个给定数字整除的最小数一样。这涉及到对多项式进行因式分解，并选择它们因子的最高次幂来构建 LCM。
要找到多项式的 LCM，我们可以遵循以下步骤：
- 步骤 1： 将每个多项式分解为其最简因子（例如，线性因子或二次因子）。
- 步骤 2： 找出两个多项式中所有不重复的因子。
- 步骤 3： 对于每个因子，从两个多项式中选择该因子的最高次幂。
- 步骤 4： 将所有选定的因子相乘，即可得到 LCM。
让我们来看一个例子以便更好地理解。
示例：给定三个多项式 x2 – y2 和 (x + y)2。求这些多项式的 LCM。
解法：
> 首先，我们对给定的多项式进行因式分解。
>
> x2 – y2 = (x + y) (x – y)
> (x + y)2 = (x + y) (x + y)
>
> 不重复的因子：
>
> 所有不重复因子的最高次幂的乘积 = (x + y)2(x – y)1
>
> 给定多项式的 LCM = (x + y)2(x – y)
进一步阅读，
多项式最小公倍数的求解示例
示例 1：求 x3 − 2×2+ x 和 x2−x 的 LCM。
解法：
> 对给定的多项式进行因式分解。
>
> x3 − 2×2+ x = x(x−1)(x−1)
> x2−2x = x(x−2)
>
> 不重复的因子：x, (x − 1), (x – 2)
>
> 所有不重复因子的最高次幂的乘积 = x(x−1)(x−1)(x – 2)
>
> 给定多项式的 LCM = x4 – 4×3 + 5×2 -2x
示例 2：求 x2 + 3x + 2 和 x2 − 1 的 LCM。
解法：
> 对给定的多项式进行因式分解。
>
> x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
> x2−1 = (x + 1)(x − 2)
>
> 不重复的因子：(x +1 ), (x + 2), (x – 2)
>
> 所有不重复因子的最高次幂的乘积 = (x + 1)(x + 2)(x – 2)
>
> 给定多项式的 LCM = x3 + x2 – 4x – 4
示例 3：求 x2 + 5x + 6 和 x2 + 2x − 3 的 LCM。
解法：
> 对给定的多项式进行因式分解。
>
> x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
> x2 + 2x − 3. = (x – 1)(x + 3)
>
> 不重复的因子：(x – 1 ), (x + 2), (x + 3)
>
> 所有不重复因子的最高次幂的乘积 = (x – 1)(x + 2)(x + 3)
>
> 给定多项式的 LCM = x3 + 4×2 + x – 6