如何计算八边形的面积？

答案：八边形的面积可以使用公式 = 2a²(1 + √2) 来计算。

几何学是研究形状和结构的领域。它简要解释了不同的形状及其属性。几何学为计算这些平面或立体形状的参数提供了定义的公式。这些公式因形状而异，是根据其尺寸推导出来的。

在本文中，我们将研究一种八条边的多边形，即八边形（Octagon），以及它的属性。文章内容还提供了确定八边形面积的公式。为了方便参考，我们还将包含一些示例数值问题及其解决方案。

八边形是一个具有 8 条边和 8 个角的几何图形。“octagon”这个词本身意味着“八条边”。八边形是平面图形之一，或者是具有八条边的多边形。正八边形的每个内角测量为 135 度。外角测量为 45 度。八边形的所有边的中点都在其中心相交，且所有对角线的长度相同。

八边形是一个具有八条边和八个角的二维平面形状。它是由线段连接而成的多边形。它有 8 条边，边用字母 ‘a‘ 表示。

!imageOctagon

八边形的性质

• 一个正多边形有八条边。
• 一个多边形有八个相等的角。
• 一个正多边形由 20 条在中心相交的对角线组成。
• 每个内角测量为 135°。并且，所有内角之和等于 1080°。
• 每个外角测量为 45°。并且，所有外角之和等于 360°。

在几何学中，有计算形状参数的既定公式。边长为 ‘a‘ 的八边形的面积由以下公式给出：

八边形面积 = 2a²(1 + √2)

其中，

a 是边或棱的长度

> 例如：

>

> 如果给定一个边长为 8cm 的八边形，其面积可以通过以下方式计算：

>

> 八边形面积 = 2a²(1 + √2)

>

> A = 2(8)²(1 + √2)

>

> A = 309.01cm²

八边形面积计算的公式可以通过四种不同的方法推导出来。这些方法连同其图解简要推导如下。

方法 I*

我们可以将一个正八边形看作是八个共用一个顶点的小等腰三角形的集合。因此，我们可以通过计算其中一个三角形的面积并乘以 8 来得出正八边形的面积。

数学上，八边形的面积表示为：

八边形面积 = 8 × 三角形面积

我们给定了一个由八个等腰三角形组成的八边形。从八边形中选取一个三角形，并从其底边向顶点画一条垂直线以形成直角。

!image

这里，a 是八边形的边长，OZ 是三角形的高。

现在，

tan²θ = 1 – cos2θ / 1 + cos2θ [因为, 2sin²θ = 1 – cos2θ 且 2cos²θ = 1 + cos2θ]

tan²(45/2) = 1 – cos45° / 1 + cos45°

tan²(45/2) = 1 – 1/√2 / 1 + 1/√2

tan(45/2) = √2 – 1

ZY/OZ = √2 – 1

OZ = a/2 / √2 – 1

OZ = a/2 (1 + √2)

三角形 XOY 的面积 = 1/2 × XY × OZ

= 1/2 × a × a/2 (1 + √2)

= a²/4 (1 + √2)

现在，八边形面积 = 8 × 三角形面积

八边形面积 = 8 × a²/4 (1 + √2)

八边形面积 = 2a²(1 + √2)
方法 II*

当一个正八边形被分割成不重叠的部分时，它可以被细分为一个正方形、四个矩形和四个等腰直角三角形。

!image

这里，a 是八边形的边长。

现在，正方形的面积, Asq = a²

然后，三角形的面积 = Atr = 1/2 × x²

其中，

x = √(a²/2)

因为，在直角三角形中，b² + h² = 斜边的平方 = 八边形的边长

矩形的面积, Arec = x × a

那么给定八边形的总面积将是，

八边形面积 = Asq + 4 × Arec + 4 × Atr
方法 III*

我们可以将八边形看作是一个正方形，其每个角上都附着一个三角形。

!image

因此，八边形的边 ‘a‘ 将是给定三角形的斜边。

a² = 2x²

设正方形的边长为 1 = a + 2x = a + 2√(a²/2)

[因为, x = √(a²/2)]

八边形的总面积将是，

面积 = (1 × 1) – 4 (1/2 × x × x)
方法 IV*

一个正八边形也可以被概念化为 4 个风筝形（菱形）的组合。

!image

设风筝形的对角线为 d 和 w，面积将是…