当已知三角形三条边的长度时，我们可以通过海伦公式（Heron‘s formula）来求出其面积。任何二维形状的面积都是衡量表面区域大小的指标。三角形是一个拥有三条边和三个顶点的闭合多边形。我们可以通过不同的方法求出三角形的面积。其中一种方法是利用三角形每条边的长度来确定面积。
在本文中，我们将与大家一起探讨这种方法、相关公式以及基于计算三边三角形面积的一些实例。
什么是已知三边的三角形面积公式？
已知三条边的三角形面积是使用海伦公式计算的。该公式由一位名叫海伦的希腊数学家提出。该公式还可以进一步扩展来计算四边形的面积。已知三边的三角形面积的海伦公式如下所示：
> A = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
其中，
- A = 三角形面积
- s = 三角形的半周长
- a,b,c = 三角形各边的长度
三角形的半周长计算如下：
> s = (a+b+c)/2
已知三边三角形面积公式的证明
已知三边的三角形面积公式可以通过两种方式推导得出：
- 使用勾股定理
- 使用余弦定理
让我们详细讨论一下这些方法：
使用勾股定理推导已知三边的三角形面积公式
为了使用勾股定理证明海伦公式，让我们考虑一个边长为 a、b 和 c 的三角形，其中 c 是最长边。我们将使用从斜边对面的顶点出发的高，将这个三角形分成两个直角三角形。我们将高记为 h，将斜边的两段记为 x 和 y，如下图所示：
!Proof-of-Formula-for-Area-of-Triangle-with-3-Sides-by-Pythagoras-Theorem
对于第一个直角三角形，使用勾股定理
x2 + h2 = a2
⇒ h2 = a2 – x2 . . .(i)
对于第二个直角三角形，使用勾股定理
y2 + h2 = b2
⇒ h2 = b2 – y2 . . .(ii)
由方程 和，我们得到
a2 – x2 = b2 – y2
⇒ a2 – b2 = x2 – y2 . . .(iii)
现在，让我们考虑斜边的两部分：
c = x + y
⇒ c2 = (x + y)2
⇒ c2 = x2 + y2 + 2xy
由方程，
c2 = a2 – b2 + 2xy
⇒ 2xy = c2 – a2 + b2
现在，让我们使用底为 c 高为 h 的三角形面积公式来求三角形的面积 A：
A = 1/2 × ch
\Rightarrow A = \frac{1}{2}c \sqrt{a^2 – x^2}
\Rightarrow A = \frac{1}{2}c \sqrt{a^2 – \left( \frac{c^2 – a^2 + b^2}{2} \right)}
\Rightarrow A = \frac{1}{2}c \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 – c^2}{2}}
\Rightarrow A = \frac{1}{2}c \sqrt{2a^2 + 2b^2 – c^2} . . .(iv)
正如我们所知，s = (a + b + c)/2
⇒ c = 2s – a – b
将 c = 2s – a – b 代入方程
A = \frac{1}{2}(2s – a – b) \sqrt{2a^2 + 2b^2 – (2s – a – b)^2}
\Rightarrow A = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}
因此，我们已经利用勾股定理证明了海伦公式。
使用余弦定理推导已知三边的三角形面积公式
海伦公式也可以利用三角学的余弦定理来证明。对于一个 ΔABC，设 a、b 和 c 为三角形的边，α、β 和 γ 为分别对应当边的角。
!Proof-of-Formula-for-Area-of-Triangle-with-3-Sides-by-Law-of-Cosine
然后，使用余弦定理，我们得到，
> cos γ = (a2+b2-c2)/2ab
利用 sinγ = √(1 – cos2γ)，我们得到
> sin γ = √{4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2}/2ab
我们有，
- 三角形的底 = a
- 三角形的高 = b sinγ
我们知道三角形面积 A = 1/2 × 底 × 高，
> A = 1/2 × (ab sin γ)
>
>
>
> ⇒ A = 1/4 × √{4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2}
>
>
>
> ⇒ A = 1/4 × √{(2ab – (a2 + b2 – c2))*(2ab + (a2 +b2 -c2))}
>
>
>
> ⇒ A = 1/4 × √{(c2 – (a-b)2)*((a+b)2 – c2)}
>
>
>
> ⇒ A = 1/4 × √{(c-a+b)(c+a-b)(a+b+c)(a+b-c)}
>
>
>
> 令 s = (a+b+c)/2，我们得到，
>
>
>
> A = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
因此，我们已经利用三角学的余弦定理和一些基本的数学恒等式推导出了三边三角形的面积公式。
计算三边三角形面积的步骤讨论如下：
> 步骤 1： 计算三角形的周长 P = a+b+c
>
>
>
> 步骤 2： 计算半周长 s = P/2
>
>
>
> 步骤 3： 使用海伦公式，求出面积 A = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
>
>
>
> 步骤 4： 使用适当的单位，如 mm2、cm2 等。
三边相等的三角形面积（等边三角形）
对于等边三角形（Equilatera…