在统计学中，点估计和区间估计是用于估计未知总体参数的两种方法，但它们在处理方式上有所不同。点估计提供一个单一、具体的数值作为对参数的最佳猜测，例如使用样本均值来估计总体均值。相比之下，区间估计给出一个可能包含总体参数的数值范围，通常表示为置信区间。
在这篇文章中，我们将讨论点估计和区间估计。我们还将详细探讨点估计与区间估计之间的主要区别。
目录
- 什么是点估计？
- 什么是区间估计？
- 点估计与区间估计的区别
- 解题范例
- 练习题
- 常见问题
什么是点估计？
点估计 是用于近似未知总体参数的单个数值。它 derived 自样本数据，并提供总体特征（如均值或比例）真实值的最佳猜测。
例如：
- 样本均值 是 总体均值 的点估计。
- 样本比例 是 总体比例 的点估计。
> 注意： 虽然点估计提供了有价值的见解，但它们没有考虑到用样本估计总体参数时所带来的不确定性或变异性。因此，置信区间通常与点估计一起使用，以指示真实总体参数可能存在的范围。
什么是区间估计？
区间估计 是一个 derived 自样本数据的数值范围，用于估计未知的总体参数。与给出单个数值的点估计不同，区间估计提供了一个参数真实值可能落入的范围，从而提供了一定程度的不确定性。
最常见类型的区间估计是 置信区间，它规定了围绕点估计的范围，并包含一个置信水平（通常为 90%、95% 或 99%）。这个置信水平代表该区间包含真实总体参数的概率。
例如：
- 如果我们计算总体均值的 95% 置信区间，这意味着如果我们抽取许多样本并计算每个样本的置信区间，其中 95% 的区间将包含真实的总体均值。
将置信区间作为区间估计
> 置信区间是区间估计的一种特定类型，它提供了带有相关置信水平的总体参数的数值范围。
例如：95% 的置信区间表明，如果我们抽取 100 个不同的样本并计算每一个的置信区间，大约有 95 个区间将包含真实的总体参数。
下表列出了点估计和区间估计之间的一些主要区别：
点估计
—
用作总体参数估计值的单个数值。
提供一个特定的、单一的数值。
不反映估计中的不确定性或变异性。
不适用。
样本均值作为总体均值的估计值。
由于依赖于单一数值，可能并不总是准确的。
计算和简单理解更简单，但提供的信息较少。
计算点估计的方法
- 样本均值计算：\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} Xi
- 其中 Xi 代表样本数据。
- 样本比例计算：\hat{p} = \frac{x}{n},
- 其中 x 是样本中成功的次数，n 是样本大小。
- 最大似然估计 (MLE)：一种通过最大化似然函数来估计参数的方法。
计算区间估计的方法
- 均值的置信区间（方差已知）：\left(\hat{\mu} – z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \hat{\mu} + z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),
- 其中 z 是临界值，\sigma 是总体标准差，n 是样本大小。
- 比例的置信区间：\hat{p} \pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
- 其中 \hat{p} 是样