定积分的性质： 具有积分限的积分被称为定积分。它有一个上限和一个下限。它表示为
$$\int_{a}^{b}f(x) = F(b) − F(a)$$
定积分有许多性质。我们将逐一讨论每个性质并给出证明。
定积分用于计算曲线在给定区间内的面积。它们具有几个重要的性质，可以简化计算并提供对函数行为的更深入理解。
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以下是定积分的一些关键性质：
下面添加了定积分的各种性质，
性质 1: $$\int{a}^{b} f(x) dx = \int{a}^{b} f(y) dy$$
证明：
> $$\int_{a}^{b}$$
>
> $$f(x) dx…….(1)$$
>
> 假设 x = y
>
> dx = dy
>
> 将此代入方程 (1)
>
> $$\int_{a}^{b} f(y) dy$$
性质 2: $$\int_{a}^{b}$$
$$f(x) dx = -\int_{b}^{a}$$
$$f(x) dx$$
证明：
> $$\int_{a}^{b}$$
>
> $$f(x) dx = F(b) – F(a)……..(1)$$
>
> $$\int_{b}^{a}$$
>
> $$f(x) dx = F(a) – F(b)………. (2)$$
>
> 由 (1) 和 (2)
>
> 我们可以推导出 $$\int_{a}^{b}$$
>
> $$f(x) dx = -\int_{b}^{a}$$
>
> $$f(x) dx$$
性质 3: $$\int_{a}^{b}$$
$$f(x) dx = \int_{a}^{p}$$
$$f(x) dx + \int_{p}^{b}$$
$$f(x) dx$$
证明：
> $$\int_{a}^{b}$$
>
> $$f(x) dx = F(b) – F(a) ………..(1)$$
>
> $$\int_{a}^{p}$$
>
> $$f(x) dx = F(p) – F(a) ………..(2)$$
>
> $$\int_{p}^{b}$$
>
> $$f(x) dx = F(b) – F(p) ………..(3)$$
>
> 由 (2) 和 (3)
>
> $$\int_{a}^{p}$$
>
> $$f(x) dx + \int_{p}^{b}$$
>
> $$f(x) dx = F(p) – F(a) + F(b) – F(p)$$
>
> $$\int_{a}^{p}$$
>
> $$f(x) dx + \int_{p}^{b}$$
>
> $$f(x) dx = F(b) – F(a) = \int_{a}^{b}$$
>
> $$f(x) dx$$
>
> 因此，得证。
性质 4.1: $$\int_{a}^{b}$$
$$f(x) dx = \int_{a}^{b}$$
$$f(a + b – x) dx$$
证明：
> 假设
>
> a + b – x = y…………(1)
>
> -dx = dy
>
> 由 (1) 你可以看出
>
> 当 x = a
>
> y = a + b – a
>
> y = b
>
> 且当 x = b
>
> y = a + b – b
>
> y = a
>
> 用这些值替换，右侧的积分变为 $$-\int_{b}^{a}$$
>
> $$f(y)dy$$
>
> 根据性质 1 和性质 2，你可以说
>
> $$\int_{a}^{b}$$
>
> $$f(x) dx = \int_{a}^{b}$$
>
> $$f(a + b – x) dx$$
性质 4.2: 如果 a 的值给定为 0，那么性质 4.1 可以写成
> $$\int_{0}^{b}$$
>
> $$f(x) dx = \int_{0}^{b}$$
>
> $$f(b – x) dx$$
性质 5: $$\int_{0}^{2a}$$
$$f(x) dx = \int_{0}^{a}$$
$$f(x) dx + \int_{0}^{a}$$
$$f(2a – x) dx$$
证明：
> 我们可以将 $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx$$ 写为
>
> $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx = \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx + \int_{a}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx$$ ………….. (1)
>
> I = I1 + I2
>
> (根据性质 3)
>
> 假设 2a – x = y
>
> -dx = dy
>
> 此外当 x = 0
>
> y = 2a, 且当 x = a
>
> y = 2a – a = a
>
> 所以，$$\int_{0}^{a}$$
>
> $$f(2a – x)dx$$ 可以写成
>
> $$-\int_{2a}^{a}$$
>
> $$f(y) dy$$ = I2
>
> 用 I2 的值替换方程 (1)，我们得到
>
> $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx = \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx + \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(2a – x) dx$$
性质 6 : $$\int{0}^{2a} f(x) dx = 2\int{0}^{a}f(x) dx$$; 如果 $$f(2a – x) = f(x)$$
= 0; 如果 $$f(2a – x) = -f(x)$$
证明：
> 根据性质 5，我们可以将 $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx$$ 写为
>
> $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx =\int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx + \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(2a – x) dx$$ ………….(1)
>
> 第 1 部分： 如果 $$f(2a – x) = f(x)$$
>
> 那么方程 (1) 可以写成
>
> $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx =\int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx + \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx$$
>
> 这可以进一步写成
>
> $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx = 2 \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx$$
>
> 第 2 部分： 如果 $$f(2a – x) = -f(x)$$
>
> 那么方程 (1) 可以写成
>
> $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx= \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx – \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx$$
>
> 这可以进一步写成
>
> $$\int_{0}^{2a}$$
>
> $$f(x) dx= 0$$
性质 7: $$\int{-a}^{a} f(x) dx = 2\int{0}^{a}f(x) dx$$; 如果一个函数是偶函数，即 $$f(-x) = f(x)$$
= 0; 如果一个函数是奇函数，即 $$f(-x) = -f(x)$$
证明：
> 根据性质 3，我们可以将
>
> $$\int_{-a}^{a}$$
>
> $$f(x) dx$$ 写为
>
> $$\int_{-a}^{a}$$
>
> $$f(x) dx = \int_{-a}^{0}$$
>
> $$f(x) dx + \int_{0}^{a}$$
>
> $$f(x) dx$$ ………(1)
>
> 假设
>
> $$\int_{-a}^{0}$$
>
> $$f(x) dx$$ = I1 ……(2)
>
> 现在，假设 x = -y
>
> 所以，dx = -dy
>
> 此外当 x = -a 那么
>
> y= -(-a) = a
>
> 且当 x = 0 那么，y = 0
>
> 将这些值代入方程 (2)，我们得到
>
> I1 = $$-\int_{a}^{0}$$
>
> $$f(-y)dy$$
>
> 使用性质 2，I1 可以写成
>
> I1 = $$\int_{0}^{a}$$
>
> $$f(-y)dy$$
>
> 且使用性质 1，I1 可以写成
>
> I1 =