根据给定的参数——如三角形的底和高、顶点坐标、边长等——求面积的方法有很多种。在本文中，我们将一起探讨当已知三角形顶点坐标时，如何求解其面积。
使用顶点坐标求三角形面积
这种方法的核心在于：如果我们已知三角形顶点的坐标，该如何计算它的面积。
如果三角形的三个顶点坐标分别为 $(x1, y1)$、$(x2, y2)$ 和 $(x3, y3)$，那么其面积公式如下：
公式推导
给定一个三角形 $PQR$，其顶点坐标分别为 $P(x1, y1)$、$Q(x2, y2)$ 和 $R(x3, y3)$。让我们来推导一下它的面积公式：
> 第一步： 分别从坐标 $P$、$Q$ 和 $R$ 向 X 轴作垂线，交点分别为 $A$、$B$ 和 $C$。
>
> 第二步： 仔细观察图形，我们可以看到坐标平面上形成了三个不同的梯形，分别是 $PQAB$、$PBCR$ 和 $QACR$。
>
> 第三步： 因此，∆QPR 的面积可以计算如下：
>
> ∆PQR 的面积 = [梯形 PQAB 的面积 + 梯形 PBCR 的面积] – [梯形 QACR 的面积] . . . (1)
>
> 第四步： 现在我们来计算这三个梯形的面积。
>
> 由于 梯形的面积 = (1 / 2) × (平行边之和) × (两边之间的距离)
>
> 计算梯形 PQAB 的面积
>
> ⇒ 梯形 $PQAB$ 的面积 = $(1 / 2)(QA + PB) \times AB$
> ⇒ $QA = y_2$
> ⇒ $PB = y_1$
> ⇒ $AB = OB – OA = x1 – x2$
>
> ⇒ 梯形 $PQAB$ 的面积 = $(1 / 2)(y1 + y2)(x1 – x2 )$ . . . (2)
>
> 计算梯形 PBCR 的面积
>
> ⇒ 梯形 $PBCR$ 的面积 = $(1 / 2) (PB + CR) \times BC$
>
> ⇒ $PB = y_1$
> ⇒ $CR = y_3$
> ⇒ $BC = OC – OB = x3 – x1$
>
> ⇒ 梯形 $PBCR$ 的面积 = $(1 / 2) (y1 + y3 )(x3 – x1)$ . . . (3)
>
> 计算梯形 QACR 的面积
>
> ⇒ 梯形 $QACR$ 的面积 = $(1 / 2) (QA + CR) \times AC$
>
> ⇒ $QA = y_2$
> ⇒ $CR = y_3$
> ⇒ $AC = OC – OA = x3 – x2$
> ⇒ 梯形 $QACR$ 的面积 = $(1 / 2)(y2 + y3 ) (x3 – x2 )$ . . . (4)
>
> 第五步： 将 (2)、(3) 和 (4) 代入 (1)，
>
> ⇒ ∆PQR 的面积 = $(1 / 2)[(y1 + y2)(x1 – x2 ) + (y1 + y3 )(x3 – x1) – (y2 + y3 ) (x3 – x2 )]$
> ⇒ ∆PQR 的面积 = $(1 / 2)
$
>
> 因此，这就是当已知顶点坐标时求三角形面积的公式。
注意： 请注意公式中有取模（绝对值）运算，这意味着如果我们计算得到负值，只应取其数值大小，因为面积不可能是负数。
示例问题
示例 1：若 ∆ABC 的顶点分别为 A(1, 2)、B(4, 2) 和 C(3, 5)，求其面积是多少？
解答：
> 首先，让我们画个图以便更好地理解。
> 现在将给定的坐标与 $(x1, y1)$、$(x2, y2)$ 和 $(x3, y3)$ 进行比较。
>
> 设 $(x1, y1) = (1, 2)$
>
> ⇒ $(x2, y2) = (4, 2)$
> ⇒ $(x3, y3) = (3, 5)$
>
> 现在我们要将数值代入 $(1 / 2)
$
>
> ⇒ $(1 / 2) [1 (2 – 5 ) + 4 (5 – 2 ) + 3(2 – 2)]$
> ⇒ $(1 / 2) [(- 3) + 12 + 0]$
> ⇒ $(1 / 2) [9] = 4.5$
>
> 因此，三角形的面积为 4.5 平方单位
示例 2：若一个三角形的面积为 1，且三个顶点的坐标分别为 $(x1, 1)$、$(2, 3)$ 和 $(4, 5)$，求 $x1$ 的值是多少？
解答：
> 首先，让我们画个图以便更好地理解。
> 已知三角形的面积为 1。
>
> 现在将给定的坐标与 $(x1, y1)$、$(x2, y2)$ 和 $(x3, y3)$ 进行比较。
>
> 设 $(x1, y1) = (x_1, 1)$
> ⇒ $(x2, y2) = (2, 3)$
> ⇒ $(x3, y3) = (4, 5)$
>
> 现在我们要将数值代入 $(1 / 2)
$
>
> ⇒ $(1 / 2) [x_1(3 – 5 ) + 2(5 – 1 ) + 4(1 – 3)] = 1$
> ⇒ $(1 / 2) [x_1(- 2) + 8 + -8] = 1$
> ⇒ $-x_1 = 1$
> ⇒ $x_1 = -1$
>
> 因此，$x_1$ 的值为 -1。
其他计算三角形面积的方法
除了使用坐标法，还有其他方法可以求三角形的面积，例如：
- 使用底和高
- 使用海伦公式
让我们来讨论一下…