平行向量是指位于同一直线或平行直线上的向量。它们具有相同的方向或完全相反的方向。
当两个向量的方向相同或相反时，我们就说它们是相互平行的。请注意，平行向量的模长（大小）可以不同，且两个平行向量永远不会相交。
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如果两个向量相互平行，它们可以表示为彼此的标量倍数。也就是说，如果存在唯一的数 ‘k‘，使得给定的两个向量 X 和 Y 满足以下条件，我们就可以说它们是平行的：
> X = k × Y
其中 k 可以是正数、负数或零。
- 如果 k 是正数，则这两个向量平行且方向相同。
- 如果 k 是负数，则这两个向量平行但方向相反，或者说它们互为反向平行（Antiparallel）。
平行于给定向量的单位向量
单位向量是指模长为一个单位的向量。平行于给定向量的单位向量，其模长为 1，且方向与给定向量相同。要找到平行于给定向量的单位向量，我们可以用该向量除以其模长：
> â = a /
，其中
= 1
因此，向量 â 是一个平行于给定向量 a 的单位向量，它是通过将向量 a 除以其自身的模长得到的。
平行向量的点积
> 点积是两个向量的模长与它们之间夹角的余弦值的乘积。对于平行向量，两个向量之间的夹角为 0°。因此，平行向量的点积就是它们模长的乘积。
根据两个向量点积的定义，我们知道：
a.b =
cosθ
由于平行向量之间的夹角为零，
a.b =
cos0
a.b =
(1)
a.b =
由此得证，两个平行向量的点积等于它们模长的乘积。
平行向量的叉积
> 叉积或向量积是向量模长与两向量之间夹角的正弦值的乘积。由于平行向量之间的夹角为 0°，所以平行向量的叉积为零。
根据叉积的定义，我们知道：
a×b =
sinθ Û .
这里 Û 代表 a×b 方向上的单位向量。
a×b =
sin0 Û .
a×b =
(0) Û .
a×b = 0
由此得证，两个平行向量的叉积总是为零。
平行向量的性质
平行向量的一些重要性质如下：
- 每个向量都与其自身平行，且与其相反向量反向平行。
- 平行向量位于同一直线或平行直线上。
- 平行向量的叉积总是为零。
- 两个平行向量之和仍然是一个平行向量。
- 两个平行向量的点积等于它们模长的乘积。
- 如果两个向量可以表示为彼此的标量倍数，则它们是平行的。
平行向量示例题
示例 1： 验证向量 U=3i + 2j -k 和 3V =i + 2j – k 是平行的、反向平行的还是相交的。
解决方案：
> 对于向量 U，方向向量 \vec{u} 是 。
>
> 对于向量 V，方向向量 \vec{v} 是 。
>
> 比较方向向量，我们看到 \vec{u} 和 \vec{v} 互不是标量倍数关系，也不是彼此的负数。
>
> 因此，U 和 V 既不平行也不反向平行。它们在某个角度相交。
示例 2： 求平行于给定向量 U = 3i + 4j + 12j 的单位向量？
解决方案：
> 平行于给定向量的单位向量可以通过将该向量除以其自身的模长求得：
>
> 给定 U = 3i + 4j + 12j ，
>
>
= √32 + 42 +122
>
> = √9 + 16 + 144 = √169 = 13
>
> 所以平行于给定 U 向量的单位向量是 = (3i + 4j + 12k ) / 13
示例 3： 求向量 U = 3i + j -2k 和 U = 6i +2j – 4k 的点积和叉积？
解决方案：
> 给定，
>
> U = 3i + j -2k
>
> V = 6i + 2j – 4k
>
> 可以看出 V = 2U
>
> 所以我们可以说这两个向量是平行的。
>
> 点积：对于平行向量 U.V =
>
> 或者
=√32 + 12 +22 = √9 + 1 + 4 = √14
>
>
= √62 +22 + 42 = √36 + 4 + 16 = √56
>
> 所以 U.V = √14 ×√56= √784 = 28。
>
> 叉积：两个平行向量的叉积为零。
示例 4： 求一个平行于向量 U = 3i + 4j 且模长为 U 的模长两倍的向量？
解决方案：
> 给定向量 U = 3i + 4j。
>
> U 的模长，
= √(32 + 42) = 5。
>
> 一个平行于 U 且模长为两倍的向量：V = 2U = 6i + 8j。
>
> V 的模长，
= √(62 + 82) = 10。