辅助角是指一对和或差为 90 度（或 π/2 弧度）倍数的角。例如，120° 和 60° 是辅助角，因为它们的和是 180°，这是 90° 的倍数。
笛卡尔平面 被划分为四个象限，每个象限包含 90°。不同的三角比在这些象限中具有不同的性质，例如在第 1 象限（范围从 0° 到 90°）所有 T-ratios（三角比）都是正的，而在第 2 象限只有正弦和余割是正的。因此，当一个角从一个象限过渡到另一个象限时，三角比会改变其符号或变为它的余函数，例如正弦变为余弦，反之亦然。
在本文中，我们将讨论辅助角的概念、辅助角三角比的公式、相关示例、练习题以及常见问题。
目录
- 什么是辅助角？
- 辅助角三角比的公式
- 结论
- 辅助角示例
- 辅助角练习题
- 辅助角三角比的常见问题 (FAQs)
什么是辅助角？
辅助角是一对角。它们可以定义如下：
> 两个角，如果它们的和或差是 90 度的倍数，则这一对角被称为辅助角。
例如， 150° 和 30° 是辅助角，因为它们的和是 180°，这是 90° 的倍数。这样的角在几何中非常常见，例如，当一条直线与另一条直线相交时，它在直线的一侧形成两个角，这两个角的和为 180°，这被称为邻补角。
辅助角三角比的公式
三角比 在从一个象限过渡到另一个象限时，会在符号或函数上发生变化。我们可以通过下面的表格来理解这些变化，该表格讨论了当角度与 90° 的倍数相加或相减时，三角比如何变化。
我们只需要分析 0°、90°、180° 和 270° 的情况。其他倍数的行为是类似的，例如，360° 等价于 0°，540° 等价于 90°，依此类推。
让我们看看下面添加的 三角函数表：
-θ
(90° + θ)
(180° + θ)
(270° + θ)
—
—
—
—
-sin θ
cos θ
– sin θ
– cos θ
cos θ
-sin θ
– cos θ
sin θ
-tan θ
-cot θ
tan θ
– cot θ
-cosec θ
cosec θ
– cosec θ
– sec θ
sec θ
-cosec θ
– sec θ
– cosec θ
-cot θ
-tan θ
cot θ
– tan c有一个技巧可以将任意角度化简为较小的值：你应该将角度除以 90，检查商和余数。然后你应该将商除以 4，并检查得到的商。
下面的列表描述了每个余数的含义：
- 0: 等价于 0 度
- 1: 等价于 90 度
- 2: 等价于 180 度
- 3: 等价于 270 度
较大的角度可以根据得到的余数替换为余数和上述 90° 倍数的和。让我们通过一个例子来理解上述技巧。
假设我们需要求 sin (570°) 的值。那么，根据该技巧，首先我们将 570 除以 90，得到商为 6，余数为 30。所以，sin (570°) 可以写成：
sin (570°) = sin (90°×6 + 30°)
现在，我们将 6 除以 4，得到余数为 2，如上所示，2 对应于 180°。因此：
sin (570°) = sin (180° + 30°)
现在，从表中我们可以看到 sin (180° + θ) = – sin θ。因此：
sin (570°) = -sin (30°) = -1/2
因此，我们可以将较大的角分解为三角比数值已知的小角，从而求出它们的值。
常见的辅助角三角比
下面列出了一些常见的 T-ratio 公式：
- sin (90 – θ) = cos θ
- cos (90 – θ) = sin θ
- tan (90 – θ) = cot θ
- sin (90 + θ) = cos θ
- cos (90 + θ) = -sin θ
- tan (90 + θ) = -cot θ
结论
总之，我们已经看到辅助角的概念是三角学中的一个关键概念，主要用于在已知较小角度的值的情况下，通过将较大角度分解为 90 度的倍数和余数（即较小角度）来确定较大角度的 T-ratio 值。
辅助角在理论和实践的各个领域都有应用，例如确定三角比在各象限的行为、波动运动、简谐运动、信号处理等。
辅助角示例
示例 1：求 sin(210°) 的值。
解法：
> 我们有，
>
>
>
> ⇒ sin (210°) = si