极限帮助我们理解当函数的输入趋近于特定值时，函数的行为表现。我们可以将极限想象成一个目的地，即当输入无限接近某个特定点时，函数所试图到达的值。
在本文中，我们将探索构成微积分核心的各种极限公式。这些公式就像是游戏的规则，指引着我们在不同场景下如何求解极限。无论是对函数进行加、减、乘还是除运算，都有特定的公式来帮助我们确定极限值。
目录
- 什么是数学中的极限？
- 极限公式
- 重要的极限结果
- 例题解析
- 练习题
- 常见问题
什么是数学中的极限？
> 极限是指当输入（或索引）趋近于某个值时，函数（或数列）所"趋近"的值。
在数学上，对于函数 f(x)，当 x 趋近于 c 时，f(x) 的极限为 L，记作：
> limx→cf(x) = L
这意味着对于每一个 ϵ > 0，都存在一个 δ>0，使得只要 0 < ∣x − c∣ < δ，就有 ∣f(x) − L∣ < ϵ。
阅读更多关于 极限的正式定义 的内容。
涉及极限的公式多种多样，主要包括：
- 基本极限公式
- 三角函数极限
- 洛必达法则
- 指数极限
- 对数极限
让我们详细探讨这些公式：
基本极限公式
描述
—
常数的极限等于常数本身。
当 x 趋近于 c 时，x 的极限是 c。
和的极限等于极限的和。
差的极限等于极限的差。
积的极限等于极限的积。
商的极限等于极限的商，前提是分母的极限不为零。
常数与函数乘积的极限等于常数乘以函数的极限。### 三角函数极限
为了求解三角函数的极限，我们需要将函数的项化为更简单的形式，或者化为 sinθ 和 cosθ 的形式。
- limx ⇢ 0 \frac{sinx}{x} = limx ⇢ 0 \frac{x}{sinx} = 1
- limx ⇢ 0 tanx/x = limx ⇢ 0 x/tanx =1
就像我们考虑第一个公式那样，
> limx ⇢ 0 sinx/x =1
>
> 使用洛必达法则
>
> limx ⇢ 0 cosx/1
>
> limx ⇢ 0 cos(0)/1 = 1/1 =1
如果代入极限后函数呈现不定形式，那么我们可以使用洛必达法则。
不定形式
> 0/0, ∞/∞, ∞-∞, ∞/0, 0∞, ∞0, 00, ∞∞
洛必达法则
如果我们遇到了不定形式，我们可以分别对分子和分母求导，直到得到一个确定的值。请记住，我们需要对分子和分母进行相同次数的求导。同理，对于所有三角函数：
- limx ⇢ 0 sin-1x/x = limx ⇢ 0 x/sin-1x = 1
> limx ⇢ 0 sin-1x/x =1
>
> limx ⇢ 0 1/√1+x2 [使用洛必达法则]
>
> = 1/√(1 + (0)2) = 1
- limx⇢0 \frac{tan^{-1}x}{x} =1
- limx ⇢ a sin xo/x = π/180
- limx ⇢ a sin(x-a) / (x-a) =1
> limx ⇢ a sin(x – a) / (x – a)
>
> =1
>
> limx ⇢ a cos(x – a)/1
>
> = limx ⇢ a cos(a – a) = cos(0) =1
- limx⇢∞ sinx/x = 0
- limx⇢∞ cosx/x = 0
- limx⇢∞ sin(1/x) / (1/x) =0
> limx ⇢ ∞ sin(1/x)/(1/x) = 0
>
> 令 1/x = h
>
> 因此，极限变为趋近于 0
>
> 因为 1\∞ = 0
>
> limh ⇢ 0 sinh/h
>
> 如前所述，如果 limx ⇢ 0 sinx/x = 1
>
> 所以，limh ⇢ 0 sinh/h = 1
阅读更多关于 洛必达法则.
指数极限
一些与指数相关的常见公式：
- limx ⇢ 0 ex – 1 /x = 1
- limx ⇢ 0 ax – 1 /x = logea
- limx ⇢ 0 eλx – 1 /x = λ
阅读更多关于 指数.
对数极限
一些与对数极限相关的常见公式：
- limx ⇢ 0 log(1 + x) /x = 1
- limx ⇢ e logex = 1
- limx ⇢ 0 loge(1 – x) /x = -1
- limx ⇢ 0 loga(1 + x) /x = logae
阅读更多关于 对数.
重要的极限结果
一些涉及极限的重要结果如下：
- limx⇢0 (1+x)^{\frac{1}{x}} = e
- limx⇢0 \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e
- limx⇢0 \frac{e^x-1}{x} =1
- limx⇢0\frac{a^x-1}{x} = logea
- limx⇢0 \frac{1