二阶导数：深入理解与应用

在这张图中，蓝线表示斜率，即给定函数的一阶导数。 例如， 我们使用二阶导数测试来确定极大值、极小值或拐点。

给定函数的二阶导数对应于图形的曲率或凹凸性。如果二阶导数值为正，那么函数的图形是向上凹的。如果二阶导数值为负，那么函数的图形是向下凹（开口向下）的。

函数的凹凸性

设 f(x) 是一个在适当区间内可微的函数。那么，f(x) 的图形可以归类为：

向上凹： 如果曲线的一段从左向右移动时，y 值以越来越快的速率增长，则该段曲线是向上凹的。

向下凹： 向上凹的相反情况，即 y 值从左向右递减，被称为向下凹。

拐点
拐点是函数改变凹凸性的点，即从“向上凹”变为“向下凹”，反之亦然。

函数的二阶导数决定了局部最大值或最小值以及拐点的值。我们可以借助以下条件来识别它们：

> – 如果 f”(x) < 0，那么函数 f(x) 在 x 处有局部最大值。

> – 如果 f”(x) > 0，那么函数 f(x) 在 x 处有局部最小值。

> – 如果 f”(x) = 0，那么

> – 无法对点 x 得出任何结论

参数形式函数的二阶导数

为了计算参数形式函数的二阶导数，我们需要使用两次链式法则。因此，为了找到二阶导数，我们先求一阶导数关于 t 的导数，然后除以 x 关于 t 的导数。假设 x = x(t) 且 y = y(t)，那么其二阶参数形式为：

> 一阶导数： dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

>

> 二阶导数： d2y/dx2 = d/dx (dy/dx)

>

> = d/dt (dy/dx) / (dx/dt)

>

> 注意： 将上述公式写成 d2y/dx2 = (d2y/dt2) / (d2x/dt2) 是完全错误的。

例题： 如果 x = t + cost, y = sint，求二阶导数。
解法：

> 已知，x = t + cos t 且 y = sin t

>

> 一阶导数，

>

> dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

> = (d/dt (sin t)) / (d/dt (t + cos t))

> = (cos t) / (1 – sin t)—- (1)

>

> 二阶导数，

>

> d2y / dx2 = d/dx (dy/dx)

>

> = d/dx (cost / 1 – sint)—- (来自式1)

>

> = d/dt (cost / 1 – sint) / (dx/dt)                                       —- (链式法则)

>

> = ((1 – sint) (-sint) – cost(-cost)) / (1 – sint)2 / (dx/dt)      —- (商法则)

> = (-sint + sin2t + cos2t) / (1 – sint)2 / (1 – sint)

> = (-sint + 1) / (1 – sint)3

> = 1 / (1 – sint)2

注意：

• 微分的商法则：dy/dx = v(du/dx) – u(dv/dx) / v2
• 链式法则：dy/dx = (dy/du) . (du/dx)

二阶导数概述

详情

—

函数 f′′(x) 的二阶导数是其一阶导数 f′(x) 的导数。它衡量 f′(x) 的变化率本身是如何变化的。

记作 f′′(x), \frac{d^2y}{dx^2}, 或 \frac{d^2f}{dx^2}

– 如果 f‘‘(x) > 0，图