群同态和正规子群是抽象代数中至关重要的概念，它们在理解群的构造和行为方面扮演着核心角色。群同态是两个群之间的一种映射，它保持了群运算，为我们研究群与群之间的关系和相似性提供了一种方法。
另一方面，正规子群是指在群的任意元素共轭作用下保持不变的子群，这使得我们能够构造商群，并简化对群结构的研究。结合起来，这些概念对于探索群论的更深层次方面（如商群、因子群和同态基本定理）是不可或缺的。
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定义 of Group Homomorphism
群同态是两个群之间保持群运算的函数。形式上，如果 \((G,\cdot)\) 和 \((H,*)\) 是群，若对于所有元素 \(a,b \in G\)，函数 \(\phi:G \to H\) 满足以下条件，则称其为群同态：
\[ \phi(a \cdot b) = \phi(a) * \phi(b) \]
这意味着，两个元素乘积在 \(\phi\) 下的像等于它们像的乘积。群同态为我们提供了一种将一个群映射到另一个群同时保持群的代数结构的方法。
群同态的示例
以下是几个群同态的例子：
- 恒等同态: 对于任意群 \(G\)，由 \(\phi(g)=g\) (对所有 \(g \in G\)) 定义的函数 \(\phi:G \to G\) 是一个同态。它将每个元素映射到其自身，保持了群运算。
- 零映射 (Zero Map): 如果 \(G\) 是任意群，\(H\) 是一个阿贝尔群（或任意群），由 \(\phi(g)=eH\) (对所有 \(g \in G\)) 定义的函数 \(\phi:G \to H\) 是一个同态，其中 \(eH\) 是 \(H\) 中的单位元。它将 \(G\) 的每个元素都映射到 \(H\) 的单位元。
- 行列式映射: 考虑域 \(R\) 上可逆 \(n \times n\) 矩阵的一般线性群 \(GLn(R)\) 和非零实数的乘法群 \(R^\)。行列式函数 \(det: GLn(R) \to R^\) 是一个同态，因为对于 \(GL_n(R)\) 中的任意矩阵 \(A\) 和 \(B\)，都有 \(det(AB) = det(A)det(B)\)。
- 投影映射: 设 \(G = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\)（两个整数副本的直积）且 \(H = \mathbb{Z}\)。由 \(\phi((a,b)) = a\) 定义的投影映射 \(\phi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) 是一个同态，因为它保持了群运算（在这种情况下是加法），即 \(\phi((a1, b1) + (a2, b2)) = \phi((a1+a2, b1+b2)) = a1 + a2\)。
- 整数到模群的同态: 考虑加法下的整数群 \(\mathbb{Z}\) 和循环群 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（整数模 \(n\)）。由 \(\phi(k) = k \mod n\) 定义的函数 \(\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 是一个同态，因为 \(\phi(a+b) = (a+b) \mod n = (\phi(a) + \phi(b)) \mod n\)。
群同态的性质
群同态具有几个重要性质：
- 单位元的保持: 群同态 \(\phi:G \to H\) 将 \(G\) 的单位元映射到 \(H\) 的单位元。也就是说，如果 \(eG\) 是 \(G\) 中的单位元，\(eH\) 是 \(H\) 中的单位元，那么 \(\phi(eG) = eH\)。
- 逆元的保持: 同态保持逆元。如果 \(\phi:G \to H\) 是一个同态且 \(g \in G\)，则 \(\phi(g^{-1}) = (\phi(g))^{-1}\)。这意味着先在 \(G\) 中取逆再应用 \(\phi\)，与先应用 \(\phi\) 然后在 \(H\) 中取逆的结果是一样的。
- 群运算的保持: 根据定义，同态 \(\phi:G \to H\) 保持群运算。对于所有 \(a,b \in G\)，有 \(\phi(a \cdot b) = \phi(a) \phi(b)\)，其中 \(\cdot\) 和 \(\) 分别表示 \(G\) 和 \(H\) 中的群运算。
- 同态的核: 同态 \(\phi:G \to H\) 的核是 \(G\) 中所有映射到 \(H\) 的单位元的元素的集合。形式上，\(ker(\phi) = \{ g \in G \mid \phi(g) = e_H \}\)。核是 \(G\) 的一个正规子群。
- 同态的像: 同态 \(\phi:G \to H\) 的像是 \(H\) 中所有作为 \(G\) 中元素像的元素的集合。形式上，\(Im(\phi) = \{ \phi(g) \mid g \in G \}\)。像是 \(H\) 的一个子群。
正规子群的定义
群 \(G\) 的正规子群 \(N\) 是指在 \(G\) 的任意元素的共轭作用下保持不变的子群。形式上，如果对于每个元素 \(g \in G\) 和每个 \(n \in N\)，元素 \(gng^{-1}\) 也在 \(N\) 中，则 \(N\) 在 \(G\) 中是正规的。这个性质记作 \(N \triangleleft G\)。正规子群非常重要，因为它们允许构造商群 \(G/N\)，并且是研究群的构造和分类的基础。