定比分点公式是坐标几何中一个非常实用的工具，它可以帮助我们求出将一条线段按已知比例分割的点的坐标。无论一个点是将线段分成相等的部分还是不等的部分，只要我们知道分割的比例，定比分点公式就能让我们确定那个分点的坐标。
定比分点公式主要应用于两种情况：
> – 内分点： 点位于线段的两个端点之间，即在内部对线段进行分割。
> – 外分点公式： 点位于线段之外，即在延长线上，并在外部对线段进行分割。
因为这两种情况截然不同，所以我们使用两个对应的公式来处理：
- 内分点公式
- 外分点公式
内分点公式
当点 C 以 m: n 的比例在内部分割线段时，意味着该点位于线段之上（即 C 在 AB 之间）。在这种情况下，我们可以使用内分点公式，结合端点 A 和 B 的坐标以及分割比例来计算出 C 的坐标。这通常被称为“内分”。
通常当我们提到“定比分点公式”时，指的都是内分点公式。如果 A 和 B 的坐标分别是 $(x1, y1)$ 和 $(x2, y2)$，那么内分点公式表示如下：
内分点公式的推导
假设 A $(x1, y1)$ 和 B $(x2, y2)$ 是给定线段 AB 的端点，C $(x, y)$ 是以 m: n 的比例在内部分割 AB 的点。
即，AC / CB = m / n
我们的目标是求出 C $(x, y)$ 的坐标。让我们取这条线段，并分别从 A、C 和 B 点出发，作垂直于 Y 轴（即平行于 Y 轴）的直线，分别交 X 轴于 P、Q 和 R，如下图所示：
> 根据上图，我们可以观察到：
>
> AM = PQ = OQ – OP = $(x – x_1)$,
> CN = QR = OR – OQ = $(x_2 – x)$,
> CM = CQ – MQ = $(y – y_1)$,
> 以及 BN = BR – NR = $(y_2 – y)$
>
> 显然，$∆AMC ∼ ∆CNB$ （因为两个三角形的所有对应角都相等）
> 因此，相似三角形的对应边之比是相等的。
>
> ⇒ AC / CB = AM / CN = CM / BN
>
> 现在我们在上述关系中代入数值：
>
> ⇒ m / n = $[(x – x1)/(x2 -x)] = [(y – y1)/(y2 – y)]$
> ⇒ m / n = $[(x – x1)/(x2 -x)]$ 且 m / n = $[(y – y1)/(y2 – y)]$
>
> 求解第一个条件，
>
> ⇒ $m(x2 – x) = n(x – x1)$
> ⇒ $(m + n)x = (mx2 + nx1)$
> ⇒ $x = (mx2 + nx1) / (m + n)$
>
> 求解第二个条件，
>
> ⇒ $m(y2 – y) = n(y – y1)$
> ⇒ $(m + n)y = (my2 + ny1)$
> ⇒ $y = (my2 + ny1) / (m + n)$
>
> 因此，我们得到点 C 的坐标：
>
> \bold{C (x, y) = \left( \frac{m x2+ n x1}{m + n} , \frac{m y2 + n y1}{m + n }\right)}
外分点公式
当一个点以 m : n 的比例在线段之外对线段进行分割时（即当我们延长线段时，该点与延长线重合），我们可以使用外分点公式来计算 C 的坐标。这通常被称为“外分”。
如果 A 和 B 的坐标分别是 $(x1, y1)$ 和 $(x2, y2)$，那么外分点公式表示如下：
外分点公式的推导
在推导内分点公式时，我们取了一个线段和一个位于该线段上的点 C $(x, y)$。但在外分点公式的情况下，我们必须假设点 C $(x, y)$ 位于线段之外。
设 A $(x1, y1)$ 和 B $(x2, y2)$ 是给定线段 AB 的端点，C $(x, y)$ 是以 m: n 的比例在外部分割 AB 的点。为了求出 C 的坐标 $(x, y)$，我们取这条被外分的线段 AB，并分别从 A、B 和 C 出发作垂直于 y 轴的直线（即平行于 y 轴的垂线），交 x 轴于 P、Q 和 R。
从 A 和 B 出发作平行于 x 轴的直线，与从 C 出发作平行于 y 轴的垂线相交于 M 和 N。下图展示了完整的构图：
> 从图中我们可以看到，
>
> AM = PR = OR – OP = $(x – x_1)$,
> BN = QR = OR – OQ = $(x – x_2)$,
> CM = RC – MR = $(y – y_1)$,
> 以及 CN = CR – NR = $(y – y_2)$
>
> 显然，$∆AMC ∼ ∆CNB$ （因为两个三角形的所有对应角都相等）
>
> 由于相似三角形的对应边之比相等，
> ⇒ AC / BC = AM / BN = CM / CN
>
> 现在我们在上述关系中代入数值，
>
> ⇒ m/n = $[(x – x_1)/(x