球冠是指一个球体被平面截取后所得到的一部分。它是球体位于截平面之上的部分，当一个平面切去球体的一部分时就会形成。底面积、高度和球体半径是计算球冠体积所需的数值。
!image球冠体积公式
下面是球冠体积的计算公式。
⇒ V = (1/3)π(3R – h)h²
其中，
R 是球体的半径，
h 是球冠的高度，
π 是一个常数，值为 22/7。
利用勾股定理，我们可以得出 (R – h)² + a² = R²。因此，该公式也可以写成：
V = (1/6)πh(3a² + h²)
这里，a 表示球冠的底面半径。
球冠体积例题详解
例题 1：如果球体的半径是 7 米，球冠的高度是 10 米，求该球冠的体积。
解答：
> 我们已知，r = 7 且 h = 10。
>
> 使用我们已有的公式，
>
> V = (1/3)π(3R – h)h²
>
> = (1/3) (22/7) (3(7) – 10) (10²)
>
> = (1/3) (22/7) (11) (100)
>
> = 1152 立方米
例题 2：如果球体的半径是 5 米，球冠的高度是 5 米，求该球冠的体积。
解答：
> 我们已知，r = 5 且 h = 5。
>
> 使用我们已有的公式，
>
> V = (1/3)π(3R – h)h²
>
> = (1/3) (22/7) (3(5) – 5) (5²)
>
> = (1/3) (22/7) (10) (25)
>
> = 261.8 立方米
例题 3：如果球体的半径是 7.5 米，球冠的高度是 12 米，求该球冠的体积。
解答：
> 我们已知，r = 7.5 且 h = 12。
>
> 使用我们已有的公式，
>
> V = (1/3)π(3R – h)h²
>
> = (1/3) (22/7) (3(7.5) – 5) (12²)
>
> = (1/3) (22/7) (17.5) (144)
>
> = 1583.4 立方米
例题 4：如果球冠的高度为 15 米，体积为 2120.6 立方米，求该球体的半径。
解答：
> 我们已知，V = 2120.6 且 h = 15。
>
> 使用我们已有的公式，
>
> V = (1/3)π(3R – h)h²
>
> => 2120.6 = (1/3) (22/7) (3R – 15) (15²)
>
> => 2120.6 = (1/3) (22/7) (3R – 15) (225)
>
> => 3R – 15 = 9
>
> => 3R = 24
>
> => R = 8 米
例题 5：如果球冠的高度为 6.5 米，体积为 1305.2 立方米，求该球冠的半径。
解答：
> 我们已知，V = 1305.2 且 h = 6.5。
>
> 使用我们已有的公式，
>
> V = (1/3)π(3R – h)h²
>
> => 1305.2 = (1/3) (22/7) (3R – 15) (6.5)²
>
> => 1305.2 = (1/3) (22/7) (3R – 6.5) (42.25)
>
> => 3R – 6.5 = 29.5
>
> => 3R = 36
>
> => R = 12 米
>
> 现在使用公式 (R – h)² + a² = R²，我们有
>
> a² = R² – (R – h)²
>
> a² = 12² – (12 – 6.5)²
>
> a² = 144 – 30.25
>
> a² = 113.75
>
> a = 10.67 米
例题 6：如果球冠的底面半径是 7 米，高度是 14 米，求该球冠的体积。
解答：
> 我们已知，a = 7 且 h = 14。
>
> 使用我们已有的公式，
>
> V = (1/6)πh(3a² + h²)
>
> = (1/6) (22/7) (14) (3 (7)² + 14²)
>
> = (1/6) (22/7) (14) (343)
>
> = 2514.3 立方米
例题 7：如果球冠的底面半径是 4.21 米，高度是 9.54 米，求该球冠的体积。
解答：
> 我们已知，a = 4.21 且 h = 9.54。
>
> 使用我们已有的公式，
>
> V = (1/6)πh(3a² + h²)
>
> = (1/6) (22/7) (9.54) (3 (4.21)² + 9.54²)
>
> = (1/6) (22/7) (14) (144.183)
>
> = 720.2 立方米
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练习题 – 球冠体积公式
1: 计算一个球冠的体积，其高度为 3 单位，球体半径为 12 单位。
2: 如果球冠的体积是 512π/3 立方单位，高度为 8 单位，求球体的半径。
3: 计算一个球冠的体积，其高度为 1 单位，球体半径为 13 单位。
4: 计算一个球冠的体积，其高度为 6 单位，球体半径为 21 单位。
5: 计算一个球冠的体积，其高度为 3.5 单位，球体半径为 1.2 单位。
6: 计算一个球冠的体积，其高度为 2.5 单位，球体半径为 16 单位。
7: 计算一个球冠的体积，其高度为 1.5 单位，球体半径为 15 单位。
8: 计算一个球冠的体积，其高度为 0.5 单位，球体半径为 14 单位。
9: 计算一个球冠的体积，其高度为 3.4 单位，球体半径为 5 单位。
10: 计算一个球冠的体积，其高度为…