集合的基数

• 它可以是有限的，也可以是无限的。
• 表示方法： A

  或 card(A)

• 例如，集合 {1, 2, 3, 4, 5} 的基数为 5。

> 基数是集合论和数学中的一个关键概念，因为它在各个学科中都有广泛的应用和重要意义。基数在各种领域中都很重要，包括加密货币和金融市场。

集合基数的示例

让我们看一些其他的例子：

• 如果 A = {a, b, c, d, e}，那么 n(A) (或) A

  = 5

• 如果 P = {Sun, Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat}，那么 n(P) (或) P

  = 7

下面是一些具有基数的常见集合：

有限集合的基数是指集合中元素的数量。如果一个集合 S 是有限的，它的基数就是集合中不同元素的计数。

集合中的总数被称为幂集的基数。

> 例如：如果 A = {1, 2, 3, 4, 5}，那么

= 5。

如果一个集合的元素可以与自然数 N = {1, 2, 3, . . . } 建立一一对应的关系，那么这个集合是可数无限的。这意味着我们可以将集合的元素列成一个序列（即使这个序列是无限延续的）。

可数无限集合的基数用 ℵ0 表示。

示例：

> – 自然数： 自然数集合 N={1, 2, 3, . . .} 是可数无限的。

> – 整数： 整数集合 Z={. . . ,−2, −1, 0, 1, 2, . . . } 是可数无限的，因为你可以像 0, 1, −1, 2, −2, . . . 这样将它们列成一个序列。

> – 有理数： 有理数集合 Q = {a/b ∣ a,b ∈ Z, b ≠ 0} 是可数无限的，尽管这不太明显。我们可以通过按照分子和分母的和来排列分数，从而将有理数排成一个序列。

如果一个集合满足以下条件，则它是可数的：

• 它是有限的，或者
• 它是无限的，但我们可以将其元素一个接一个地列出来（像第1个、第2个、第3个……），这意味着它与自然数 N 之间存在双射。

如果一个集合是可数的且无限的，它被称为可数无限集合。例子包括自然数集合（ℕ）、整数集合（ℤ）和有理数集合 (Q)。

• 对于有限的可数集合，其基数就是它包含的元素数量。
• 然而，对于无限的可数集合，其基数与自然数的基数相同。

如果一个集合满足以下条件，则它是不可数的：

• 它是无限的，并且
• 它的元素无法被列出（甚至无法列成像 a1, a2, a3… 这样的无限列表）。

如果一个集合是不可数的，它是无限的，并且其元素无法按顺序列出；它被称为不可数无限集合。

• 对于不可数集合，其元素无法被列成序列。
• 不可数集合的基数大于自然数的基数。

幂集的基数

> 集合 S 的幂集是 S 所有可能的子集的集合，包括空集和 S 本身。

如果一个集合 A 有 n 个元素，那么其幂集的基数等于 2n，即集合 A 的子集数量。

如果一个集合 S 有 n 个元素，幂集 P(S) 将有 2n 个元素。这是因为 S 中的每个元素在子集中都有“包含”或“不包含”两种选择，从而导致了 2n 种可能的子集。

对于任何包含 n 个元素的有限集合 S：∣P(S)∣ = 2n

> 考虑集合 S = {a, b}。

>

> S 的子集有：

>

> – {} (空集)

> – {a}

> – {b}

> – {a, b}

>

> 幂集 P(S) 为 {{}, {a}, {b}, {a, b}}

>

> 因为 S 有 2 个元素，所以幂集 P(S) 的基数是 22 = 4。

笛卡尔积的基数

两个集合 A 和 B 的笛卡尔积，记为 A × B，是由所有有序对 (a, b) 组成的集合，其中 a ∈ A 且 b ∈ B。

笛卡尔积 A x B 的基数是由 A 和 B 组成的有序对的总数。它的计算公式如下：

>

=

x

• 其中 A

  和

  B

  分别是集合 A 和 B 的基数。

有限集合示例： 如果 A = {1, 2} 且 B = {x, y, z}，那么 A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}，所以 ∣A × B∣ = 6。
无限集合示例： 如果 A = {1, 2,3,4,……..} 且 B = {10,20,30,……..}，那么

= {(1, 10), (1, 20), (1, 30),………..,(2, 10), (2, 20), (2, 30)}。

与基数相关的公式

• 如果 A 和 B 是两个不相交的集合，那么

> n(A U B) = n(A) + n (B)。

• 对于任意两个集合 A 和 B，

> n (A U B) = n(A) + n (B) – n (A ∩ B)。

这通常被称为“容