概率论是9至12年级数学课程的重要组成部分。本文中的概率问题及其详细解答，将帮助大家通过一系列已解答和未解答的题目，深入理解相关的基本概念和公式。这些题目涵盖了样本空间、事件、硬币概率等核心概念。解决这些问题将有效提升你对概率论的理解和解题技巧。
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概率重要公式
说明
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P(E) = 有利结果数 / 结果总数
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) 如果 A 和 B 互斥（不相交）。
P(A ⋂ B) = P(A) · P(B \
P(A ⋂ B) = P(A) · P(B) 如果 A 和 B 相互独立。
P(B \
P(A \
A) · P(A)] / P(B)
P(A) = P(A ⋂ B1) + P(A ⋂ B2) + … + P(A ⋂ Bn)
其中，B1, B2, …, Bn 是互斥且穷尽的事件，问题 1：一场测试包含 10 道判断题。如果要通过考试，学生必须至少答对 8 道题。如果学生每道题都是猜测的，那么通过测试的概率是多少？
解答：
> 猜对每道题的概率 = 1/2。
> 我们可以使用二项概率公式计算恰好答对 8、9 或 10 道题的概率：P(X=k) = C(n, k) × (p)^k × (1-p)^(n-k)，其中 C(n, k) 是组合数。
> 使用公式，当 n = 10，k = 8, 9, 10，且 p = 1/2 时，计算 P(8) + P(9) + P(10)。
> 将这些概率相加，得出通过考试的总概率。
问题 2：一个袋子里装有 8 个蓝球和若干个粉球。如果抽到粉球的概率是抽到蓝球概率的一半，那么袋子里有多少个粉球？
解答：
> 让我们设粉球的数量为 n。
>
> 蓝球的数量 = 8。
>
> 因此，袋子中球的总数 = n + 8。
>
> 现在，抽到粉球的概率，即 P(X) = n / (n + 8)
>
> 抽到蓝球的概率，即 P(B) = 8 / (n + 8)
>
> 根据题意，抽到粉球的概率是抽到蓝球概率的一半。
>
> 所以，P(X) = P(B)/2
>
> n/(n+8) = [8/(n+8)] / 2
>
> n/(n+8) = 4/(n+8)
>
> n = 4。
>
> 因此，袋子里的粉球数量是 4 个。
问题 3：一个盒子里装有 5 个红球、3 个绿球和 2 个蓝球。随机抽取两个球。它们颜色不同的概率是多少？
解答：
> 总球数 = 5 (红) + 3 (绿) + 2 (蓝) = 10。
>
> 抽到一个红球和一个绿球的概率 = (5/10) × (3/9) + (3/10) × (5/9)。
>
> 抽到一个红球和一个蓝球的概率 = (5/10) × (2/9) + (2/10) × (5/9)。
>
> 抽到一个绿球和一个蓝球的概率 = (3/10) × (2/9) + (2/10) × (3/9)。
>
> 总概率 = 上述概率之和。
问题 4：一个袋子里装有 5 个红球、6 个蓝球和 7 个绿球。不放回地抽取三个球。按红、蓝、绿的顺序抽到的概率是多少？
解答：
> 第一个抽到红球的概率 = 5/18。
>
> 然后，抽到蓝球的概率 = 6/17 (移走一个红球后)。
>
> 最后，抽到绿球的概率 = 7/16 (移走一个红球和一个蓝球后)。
>
> 总概率 = (5/18) × (6/17) × (7/16) ≈ 0.0456 或 4.56%。
问题 5：两枚硬币同时抛掷 360 次。‘2 次反面’出现的次数是‘0 次反面’出现次数的三倍，且‘1 次反面’出现的次数是‘0 次反面’出现次数的两倍。求得到‘两次反面’的概率。
解答：
> 总结果数 = 360
>
> 让我们设‘0 次反面’出现的次数为 z
>
> 那么，‘2 次反面’出现的次数 = 3z
>
> ‘1 次反面’出现的次数 = 2z
>
> 现在，z + 2z + 3z = 360
>
> 6z = 360
>
> z = 60
>
> 因此，得到‘两次反面’的概率 = (3 x 60)/360 = 1/2
问题 6：一家工厂有 3 台机器：机器 A、机器 B 和机器 C，分别占总产量的 50%、30% 和 20%。机器 A、B 和 C 生产次品率分别为 1%、2% 和 3%。如果随机选择一个物品发现是次品，那么它来自机器 B 的概率是多少？
解答：
> 设：
>
> – P(B)：物品来自机器 B 的概率 = 30% = 0.30。
> – P(D∣B)：来自机器 B 的物品是次品的概率 = 2% = 0.02。
> – P(D)：物品是次品的总概率。
> – P(B∣D)：已知物品是次品，它来自机器 B 的概率。