质数是指大于1的自然数，且只能被1和它自身整除。例如，2、3、5、7和11都是质数，因为它们只能被1和自身整除，没有其他数能完全整除它们。质数具有基本特征和广泛的用途，这使它们在从数论到加密技术的许多领域中都至关重要。
以下是一些关于质数的惊人事实：
- 宇宙中的所有数字要么是质数，要么是质数的乘积。
- 2是最小的质数。
- 除了2是偶质数外，所有的质数都是奇数。
- 只有一个质数的第一位数是5（即5本身）。除了5以外，没有其他质数的最后一位是5。
- 哥德巴赫猜想指出，每个大于2的偶自然数都是两个质数之和。虽然经过大量努力，该猜想对于所有小于4×10^18的整数都被证明是成立的，但总体上仍未被证明。例如，13可以写成11 + 2。
- 两个质数的最大公约数 (GCD)总是1。
- 除了2和5，所有质数都以1、3、7或9结尾（剩下的奇数位）。
- 两个质数的乘积永远是合数。
- 除了2和3，所有其他质数都可以表示为 6n+1 或 6n-1 的形式，其中n是自然数。让我们看几个例子：5 = 6 – 1, 7 = 6 + 1, 11 = 6 × 2 – 1, 13 = 6 × 2 + 1。需要注意的是，所有大于3的数都是 (6n+1 或 6n-1) 的形式，但并非所有这种形式的数都是质数。
- 除了2，所有其他质数要么是 4n+1，要么是 4n-1，其中n是自然数。
- 对于任何大于1的数，在该数和它的两倍之间至少存在一个质数。
- 从1到100，共有25个质数；从100到200，有21个质数；从200到300，有16个质数。从300到500，有33个质数。从1到1000，有168个质数。从1到10,000，有1229个质数。
- 根据素数定理，第n个质数 pn 满足 pn 约等于 n log n。随着 n 的无限增加，这种近似的相对误差趋近于0。例如，第 2×10^17 个质数是 8512677386048191063，而 (2×10^17)log(2×10^17) 四舍五入为 7967418752291744388，相对误差约为6.4%。
- 梅森素数 存在形如 2^p – 1 的质数，其中 p 是一个质数。这个定理对于寻找大质数非常有用。
- 欧拉发表了一个公式 k² − k + 41。当我们令 k = 1 到 40 时，我们得到的都是质数。这些数是 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, … 这些数字被称为欧拉幸运素数。
- 流行的 RSA算法（用于HTTPS和互联网的许多其他地方）基于这样一个事实：将两个数相乘很容易，但很难找到乘积的质因数。
- 勒穆瓦纳猜想：任何大于5的奇整数都可以表示为一个奇素数（除了2以外所有质数都是奇数）和一个偶半素数之和。半素数是指两个质数的乘积。这被称为勒穆瓦纳猜想。
- 为了计算一个数的因数（或约数）之和，我们可以找出质因数的个数及其指数。设 p1, p2, … pk 为 n 的质因数。设 a1, a2, .. ak 分别为能整除 n 的 p1, p2, .. pk 的最高次幂，即我们可以将 n 写作 n = (p1a1)(p2a2) … (pkak)。
> 因数之和 = (1 + p1 + p1² … p1^a1) *
> (1 + p2 + p2² … p2^a2) *
> ………………………………………
> (1 + pk + pk² … pk^ak)
>
> 我们可以注意到上述公式中的各项都是等比数列 (GP)。我们可以将公式重写为。
>
> 因数之和 = (p1^(a1+1) – 1)/(p1 -1) *
> (p2^(a2+1) – 1)/(p2 -1) *
> …………………………….
> (pk^(ak+1) – 1)/(pk -1)
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