对数法则主要用于简化和处理对数表达式。它们帮助我们将对数与指数联系起来，使复杂的计算变得更加容易。在所有这些法则中，乘积法则、商法则和幂法则是最为常见的三个。
这些定律在许多数学和科学应用中至关重要，使对数成为求解方程、模拟指数增长以及分析大量数据的宝贵工具。
对数的乘积法则
根据乘积法则，一个乘积的对数等于其各元素对数的总和。
> 公式： loga(XY) = logaX + logaY
>
> 示例： log2(3 × 5) = log2(3) + log2(5)
对数的商法则
商法则断言，一个商的对数等于分子对数减去分母对数。
> 公式： loga(X/Y) = logaX – logaY
>
> 示例： log3(9 / 3) = log3(9) – log3(3)
对数的零法则
根据零法则，以任何数为底 1 的对数总是 0。
> 公式： loga(1) = 0
>
> 示例： log4(1) = 0
对数的恒等法则
根据恒等法则，以自身为底的对数总是 1。
> 公式： loga(a) = 1
>
> 示例： log7(7) = 1
倒数法则
根据对数的倒数法则，一个数的倒数（1 除以该数）的对数等于原数对数的负数。用数学符号表示为：
> 公式： loga(1/X) = – loga(X)
>
> 示例： loga(1/2) = – loga(2)
对数的幂法则或指数法则
根据幂法则，一个数的指数次幂的对数等于该指数乘以底数的对数。
> 公式： loga(Xn) = n × logaX
>
> 示例： log5(92) = 2 × log5(9)
对数的换底法则
换底法则允许我们通过使用常用对数（通常以 10 或 e 为底）来计算不同底数的对数。换底法则也被称为 底数切换法则。
> 公式： loga(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)
>
> 示例： log3(7) = log10(7) / log10(3)
对数的逆性质
对数逆性质断言，计算一个指数值的对数会得到原来的指数。
> 公式： loga(aⁿ) = n
>
> 示例： log₄(4²) = 2
对数的导数
一个函数的自然对数的导数等于该函数的导数除以该函数本身。
> 公式： d/dx [ln(f(x))] = f‘(x) / f(x)
>
> 示例： If y = ln(x2), then dy/dx = 2x / x2 = 2/x
对数的积分
除了微分，我们还可以计算对数的积分。对数函数的积分如下所示：
> 公式： ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C
注： 由于自然对数和常用对数仅底数不同，因此自然对数的法则与常用对数相同。
相关主题：
> – 对数的应用
> – 反对数表
> – 对数计算器
> – 对数表
> – 对数定律
对数法则的解析例题
例 1：化简 log2(4 × 8)。
解决方案：
> 使用乘积法则，我们将乘积拆分为对数的和：
>
> log2(4 × 8) = log2(4) + log2(8) = 2 + 3 = 5.
例 2：化简 log4(16 / 2)。
解决方案：
> 使用商法则，我们将商拆分为对数的差：
>
> log4(16 / 2) = log4(16) – log4(2) = 2 – 0.5 = 1.5.
例 3：化简 log5(253)。
解决方案：
> 使用幂法则，我们可以将指数作为系数提出来：
>
> log5(253) = 3 × log5(25) = 3 × 2 = 6.
例 4：将 log3(7) 转换为以 10 为底的表达式。
解决方案：
> 使用底数切换法则，我们除以新底数的对数：
>
> log3(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1.7712
例 5：使用以 2 为底的换底法则计算 log7(49)。
解决方案：
> 使用以 2 为底的换底法则：
>
> log7(49) = log2(49) / log2(7) = 5 / 1.807 = 2.77 (约等于).