群是几何学、代数学和数论等许多数学分支中的重要概念。它通常以基本系统的形式出现。简单来说，群是一个具有“将任意两个实体结合成第三个实体的功能”的集合。它们为研究代数结构、对称性和置换提供了有效的基础。一个基本的群是由两个动作组成的集合，这些动作满足一系列特定的要求。为了深入分析更复杂的统计数据，理解这些类别的基本特性是非常重要的。
目录
- 什么是群
- 群的性质
- 群的类型
- 群的示例
- 群的基本性质例题详解
- 群的基本性质未解习题
什么是群
群是一个集合 $G$，它与一个二元运算 $*$（根据上下文通常称为乘法或加法）相结合，并满足以下四个性质：
1. 封闭性： 对于集合 $G$ 中的每一对元素 $a, b$，运算 $a * b$ 的结果也在 $G$ 中。
示例： 考虑整数集 $Z$，其运算为加法。对于任意两个整数 $a$ 和 $b$，$a+b$ 也是一个整数，因此 $Z$ 在加法下是封闭的。
2. 结合律： 对于集合 $G$ 中的任意三个元素 $a, b, c$，等式 $(ab)c = a(bc)$ 成立。
示例： 对于 $Z$ 中的任意三个整数 $a, b$ 和 $c$，$(a+b) + c = a+ (b+ c)$。
3. 单位元： 集合 $G$ 中存在一个元素 $e$，使得对于 $G$ 中的每一个元素 $a$，都满足 $ea = ae = a$。
示例： 在加法下的整数群 $Z$ 中，单位元是 $0$，因为对于任意整数 $a$，都有 $a+0=0+a=a$。
4. 逆元： 对于集合 $G$ 中的每一个元素 $a$，都存在 $G$ 中的一个元素 $b$，使得 $ab=ba=e$，其中 $e$ 是单位元。
示例： 对于 $Z$ 中的任意整数 $a$，其逆元是 $-a$，因为 $a+(-a)=(-a)+a=0$。
群的性质
性质 1：左消去律
如果 $a , b, c \in G$，那么若 $a \circ b = a \circ c \Rightarrow b = c$。
证明：
> 给定 $a \circ b = a \circ c$，对于所有的 $a, b, c \in G$。
> 我们在左边同时左乘 $a^{-1}$，其中 $a^{-1} \in G$，得到：
> $a^{-1} \circ (a \circ b) = a^{-1} \circ (a \circ c)$
> 或者 $(a^{-1} \circ a) \circ b = (a^{-1} \circ a) \circ c$ [利用结合律]
> 或者 $e \circ b = e \circ c$，[利用逆元性质]
> 或者 $b = c$，[利用单位元性质]
注意，$a \circ b$ 通常也写作 $ab$。
这被称为左消去律。
性质 2：单位元的双侧性
对于每一个 $a \in G$，都有 $e \circ a = a = a \circ e$，其中 $e$ 是单位元。即：左单位元也是右单位元。
证明：
> 设 $a^{-1}$ 是 $a$ 的左逆元，那么：
> $a^{-1} \circ (a \circ e) = (a^{-1} \circ a) \circ e$ [利用结合律]
> 或者 $a^{-1} \circ (a \circ e) = e \circ e$ [利用逆元性质]
> $= e$ [利用单位元性质]
> 或者 $a^{-1} \circ (a \circ e) = a^{-1} \circ a$ [利用逆元性质]
> 即：$a^{-1} \circ (a \circ e) = a^{-1} \circ a$
因此，根据性质 1（即左消去律），我们可以得出 $a \circ e = a$。由此我们发现，$e$ 也是右单位元，因此它直接被称为单位元。
性质 3：逆元的双侧性
对于每一个 $a \in G$，都有 $a^{-1} \circ a = e = a \circ a^{-1}$。即：一个元素的左逆元也是其右逆元。
证明：
> $a^{-1} \circ (a \circ a^{-1}) = (a^{-1} \circ a) \circ a^{-1}$ [利用单位元性质]
> $= e \circ a^{-1}$ [利用逆元性质]
> $= a^{-1} \circ e$ [根据性质 2]
> 即 $a^{-1} \circ (a \circ a^{-1}) = a^{-1} \circ e$
因此，根据左消去律，得出 $a \circ a^{-1} = e$。
由此可见，元素 $a$ 的左逆元 $a^{-1}$ 也是其右逆元，因此 $a^{-1}$ 直接被称为 $a$ 的逆元。
性质 4：右消去律
如果 $a , b, c \in G$，那么若 $b \circ a = c \circ a \Rightarrow b = c$。
证明：
> 给定 $b \circ a = c \circ a$，对于所有的 $a, b, c \in G$。
> 我们在右边同时右乘 $a^{-1}$，其中 $a^{-1} \in G$，得到：
> $(b \circ a) \circ a^{-1} = (c \circ a) \circ a^{-1}$
> 或者 $b \circ (a \circ a^{-1}) = c \circ (a \circ a^{-1})$ [利用结合律]
> 或者 $b \circ e = c \circ e$，[利用逆元性质]
> 或者 $b = c$，[利用单位元性质]
这被称为右消去律。
性质 5：乘积的逆元
对于每一个 $a , b \in G$，我们有 $(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}$。即：群 $G$ 中两个元素 $a, b$ 的乘积（或复合）的逆元，是这两个元素逆元的乘积（或复合），但顺序要颠倒。
证明：
> 设 $a^{-1}$ 和 $b^{-1}$ 分别是 $a$ 和 $b$ 的逆元。
> 现在考虑：$(a \circ b) \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) = a \circ (b \circ b^{-1}) \circ a^{-1}$ [利用结合律]
> $= a \circ e \circ a^{-1}$ [利用逆元性质]
> $= a \circ a^{-1}$ [利用单位元性质]
> $= e$ [利用逆元性质]
> 所以，$(a \circ b) \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) = e$
> 同理，$(b^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ b)= e$
因此，根据逆元的定义，我们证明了该性质成立。