什么是三角形的旁心？
三角形的旁心是指其旁圆的圆心，也就是与三角形的一条边及另外两条边的延长线相切的圆。每个三角形都有三个旁心，分别对应于三角形的三个顶点。它们位于相应顶点的内角平分线与另外两个顶点的外角平分线的交点上。
三角形旁心的坐标公式
我们可以根据三角形的顶点坐标 $A(x1, y1)$、$B(x2, y2)$ 和 $C(x3, y3)$，使用以下公式来计算旁心的位置。
> 对于与顶点 A 相对的旁心 IA： IA = ((-ax1 + bx2 + cx3) / (-a + b + c), (-ay1 + by2 + cy3) / (-a + b + c))
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> 对于与顶点 B 相对的旁心 IB： IB = ((ax1 – bx2 + cx3) / (a – b + c), (ay1 – by2 + cy3) / (a – b + c))
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> 对于与顶点 C 相对的旁心 IC： IC = ((ax1 + bx2 – cx3) / (a + b – c), (ay1 + by2 – cy3) / (a + b – c))
其中，a、b 和 c 分别是顶点 A、B 和 C 所对边的长度。
三角形旁心的性质
- 每个旁心都是旁圆的圆心，该圆与三角形的一边及另外两边的延长线相切。
- 旁心是一个顶点的内角平分线与另外两个顶点的外角平分线的交点。
- 三个旁心和三角形的垂心共线，它们都位于欧拉线上。
- 内心和三个旁心构成一个垂心系统，其中内心是旁心构成的三角形的垂心。
- 旁心是塞瓦三角形的顶点，这是通过从每个顶点向对边引塞瓦线（它们是共点的）形成的。
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三角形的旁心 – 精选例题
问题 1： 在三角形 ABC 中，IA 是与顶点 A 相对的旁心。如果 AB = 5，AC = 7，且 BC = 6，求 AIA 的长度。
> 解法 1： 为了求 AIA，我们可以使用从顶点到相应旁心的距离公式：AIA = r / cos(A/2)，其中 r 是内切圆半径，A/2 是角 A 的一半。
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> 首先，求半周长 s：s = (AB + AC + BC) / 2 = (5 + 7 + 6) / 2 = 9
>
> 接下来，使用海伦公式计算三角形 ABC 的面积 Δ：Δ = √(s (s – AB) (s – AC) (s – BC)) = √(9 (9 – 5) (9 – 7) (9 – 6)) = √(9 4 2 * 3) = √216 = 6√6
>
> 现在，求内切圆半径 r：r = Δ / s = (6√6) / 9 = (2√6) / 3
>
> 计算 cos(A/2)：cos(A/2) = √(s (s – AB) / (AB AC)) = √(9 4 / (5 7)) = √(36 / 35)
>
> 最后，计算 AIA：AIA = r / cos(A/2) = (2√6 / 3) / √(36 / 35) = (2√6 / 3) * (√35 / 6) = √210 / 9
>
> 因此，AI_A 的长度为 √210 / 9。
问题 2： 在三角形 XYZ 中，IB 是与顶点 B 相对的旁心。如果 XY = 8，XZ = 10，且 YZ = 6，求 BIB 的长度。
> 解法 2： 使用与解法 1 类似的方法：
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> 计算半周长 s：s = (XY + XZ + YZ) / 2 = (8 + 10 + 6) / 2 = 12
>
> 求三角形 XYZ 的面积 Δ：Δ = √(s (s – XY) (s – XZ) (s – YZ)) = √(12 (12 – 8) (12 – 10) (12 – 6)) = √(12 4 2 * 6) = 4√36 = 24
>
> 计算内切圆半径 r：r = Δ / s = 24 / 12 = 2
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> 求 cos(B/2)：cos(B/2) = √(s (s – XY) / (XY XZ)) = √(12 6 / (8 10)) = √(72 / 80) = √0.9
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> 计算 BIB：BIB = r / cos(B/2) = 2 / √0.9 = 2√10 / 3
>
> 因此，BI_B 的长度为 2√10 / 3。
问题 3： 在三角形 PQR 中，IC 是与顶点 R 相对的旁心。如果 PQ = 12，PR = 15，且 QR = 9，求 RIC 的长度。
> 解法 3： 为了求 RIC，我们使用公式：RIC = r / cos(C/2)，其中 r 是内切圆半径，C/2 是角 C 的一半。
>
> 首先，计算半周长 s：s = (PQ + PR + QR) / 2 = (12 + 15 + 9) / 2 = 18
>
> 接下来，使用海伦公式计算三角形 PQR 的面积 Δ：Δ = √(s (s – PQ) (s – PR) (s – QR)) = √(18 (18 – 12) (18 – 15) (18 – 9)) = √(18 6 3 * 9) = √(2916) = 54
>
> 现在，求内切圆半径 r：r = Δ / s = 54 / 18 = 3
>
> 计算 cos(C/2)：cos(C/2) = √(s (s – PQ) / (PQ PR)) = √(18 6 / (12 15)) = √(108 / 180) = √(3 / 5)
>
> 最后，计算 RIC：RIC = r / cos(C/2) = 3 / √(3 / 5) = 3√(5 / 3) = √15
>
> 因此，RI_C 的长度为 √15。
问题 4： 在三角形 LMN 中，IA 是与顶点 L 相对的旁心。如果 LM = 10，LN = 12，且 MN = 14，求 LIA 的长度。
> 解法 4： 为了求 LIA，我们使用公式：LIA = r / cos(A/2)，其中 r 是内切圆半径，A/2 是角 A 的一半。
>
> 首先，计算半周长