复数是指形如 a + ib 的数，其中 a 和 b 是实数，i²（iota）是虚部单位，代表 -1。这类数字通常以矩形或标准形式表示。例如，10 + 5i 是一个复数，其中 10 表示实部，5i 表示虚部。根据 a 和 b 的值，它们可以是纯实数或纯虚数。当 a + ib 中的 a = 0 时，ib 是一个纯虚数；而当 b = 0 时，我们得到 a，这是一个纯实数。
复数除法
两个复数的除法过程与两个实数的除法过程略有不同。复数的除法更类似于在分母包含无理数的分数中，对分母进行有理化的概念。
具体涉及以下步骤：
- 确保分子和分母均处于复数标准形式，即 z = a + ib。
- 计算分母的复共轭。假设分母是 c + id，则其共轭为 c − id。
- 用共轭数同时乘以分数的分子和分母。
- 利用平方差公式求解分母。
- 将得到的复数分为实部和虚部。
两个复数 z1 = x + iy 和 z2 = a + ib 的除法过程如下所示：
$$\begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{x+iy}{a+ib}\\&=\dfrac{x+iy}{a+ib}\times\dfrac{a-ib}{a-ib}\\&=\dfrac{(x+iy)(a-ib)}{a^2-(ib)^2}\\&=\dfrac{ax-ibx+iay-i^2by}{a^2-(-1)b^2}\\&=\dfrac{ac-ibx+iay+by}{a^2+b^2}\\&=\dfrac{(ax+by)+i(ay-bx)}{a^2+b^2}\\&=\dfrac{ax+by}{a^2+b^2}+i\left(\dfrac{ay-bx}{a^2+b^2}\right)\end{aligned}$$
类似问题
问题 1. 求解： \frac{-3-5i}{2i}
.
解答：
> 分母 2i 的标准形式 = 0 + 2i
>
> 分母的共轭 = 0 − 2i
>
> 分子分母同时乘以 0 – 2i。
>
> $$\begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{-3-5i}{0+2i}\\&=\dfrac{-3-5i}{0+2i}\times\dfrac{0-2i}{0-2i}\\&=\dfrac{(-3-5i)(0-2i)}{0^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{-5}{2}+i\left(\dfrac{3}{2}\right)\end{aligned}$$
问题 2. 求解： \frac{-1}{3+2i}
.
解答：
> 分母的共轭 = 3 + 2i
>
> 分子分母同时乘以 3 – 2i。
>
> $$\begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{-1}{3+2i}\\&=\dfrac{-1}{3-2i}\times\dfrac{3+2i}{3+2i}\\&=\dfrac{(-3+2i)}{3^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{-3}{13}+i\left(\dfrac{2}{13}\right)\end{aligned}$$
问题 3. 求解： \frac{1}{3+2i}
.
解答：
> 分母的共轭 = 3 + 2i
>
> 分子分母同时乘以 3 – 2i。
>
> $$\begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{1}{3+2i}\\&=\dfrac{1}{3-2i}\times\dfrac{3+2i}{3+2i}\\&=\dfrac{(3+2i)}{3^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{3}{13}+i\left(\dfrac{2}{13}\right)\end{aligned}$$
问题 4. 求解 (5+√2i)/(1−√2i).
解答：
> 分母的共轭 = 1 + √2i
>
> 分子分母同时乘以 1 + √2i。
>
> $$\begin{aligned}\dfrac{5+\sqrt{2}i}{1-\sqrt{2}i}=\dfrac{a+ib}{c+id}&=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\left(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)\\&=\dfrac{(5\times 1)+(\sqrt{2}\times(-\sqrt{2}))}{1^2+(-\sqrt{2})^2}+\\&i\left(\dfrac{(\sqrt{2} \times 1)-(5\times(-\sqrt{2}))}{1^2+(-\sqrt{2})^2}\right)\\&=\dfrac{5-2}{1+2}+i\left(\dfrac{\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{1+2}\right)\\&=\dfrac{3+6\sqrt{2}i}{1+2}\\&=1+2\sqrt{2}i\end{aligned}$$
问题 5. 求解： \frac{1-5i}{-3i}
.
解答：
> 分母 −3i 的标准形式 = 0 − 3i
>
> 分母的共轭 = 0 + 3i
>
> 分子分母同时乘以 0 + 3i。
>
> $$\begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{1-5i}{0-3i}\\&=\dfrac{1-5i}{0-3i}\times\dfrac{0+3i}{0+3i}\\&=\dfrac{(1-5i)(0+3i)}{0^2-(3i)^2}\\&=\dfrac{3i-15i^2}{0^2-(-1)3^2}\\&=\dfrac{3i+15}{0^2+3^2}\\&=\dfrac{3i+15}{9}\\&=\dfrac{5}{3}+i\left(\dfrac{1}{3}\right)\end{aligned}$$
问题 6. 求解： (1 + 5i)/-3i.
解答：
> 分母 −3i 的标准形式 = 0 − 3i
>
> 分母的共轭 = 0 + 3i
>
> 分子分母同时乘以 0 + 3i。
>
> $$\begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{1+5i}{0-3i}\\&=\dfrac{1+5i}{0-3i}\times\dfrac{0+3i}{0+3i}\\&=\dfrac{(1+5i)(0+3i)}{0^2-(3i)^2}\\&=\dfrac{3i+15i^2}{0^2-(-1)3^2}\\&=\dfrac{3i-15}{0^2+3^2}\\&=\dfrac{3i-15}{9}\\&=\dfrac{-5}{3}+i\left(\dfrac{1}{3}\right)\end{aligned}$$
问题 7. 求解： \frac{1}{3-2i}
.
解答：
> 分母的共轭 = 3 − 2i
>
> 分子分母同时乘以 3 + 2i。
>
> $$\begin{aligned}\dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{1}{3-2i}\\&=\dfrac{1}{3-2i}\times\dfrac{3+2i}{3+2i}\\&=\dfrac{(3+2i)}{3^2-(2i)^2}\\&=\dfrac{3}{13}+i\left(\dfrac{2}{13}\right)\end{aligned}$$