我们在处理比率、分数或速度等问题时，通常会用到一种特殊的平均值——调和平均数。它被定义为给定数值集的倒数的算术平均数的倒数。调和平均数赋予每个数据点相同的权重，当数据值以分数形式表示，或者我们需要计算平均变化率时，它显得特别有用。
从数学角度来看，如果 $x1, x2, x3, \dots, xn$ 是 $n$ 个非零正数观测值，调和平均数的计算公式如下：
调和平均数是毕达哥拉斯平均数的三种类型之一，另外两种是 算术平均数 和 几何平均数。在这三者中，调和平均数通常是最小的。它最适用于涉及速度、密度或效率等量的数据集，因为这些值通常通过比率或速率来定义。
调和平均数公式
我们可以使用以下公式来计算数据集的调和平均数。假设 $x1, x2, x3, x4, \dots, x_n$ 是给定数据的 $n$ 个项，那么该数据的调和平均数可以通过以下公式计算：
> 调和平均数 (H.M) = \frac{n}{(1/x1)+(1/x2)+(1/x3)+…+(1/xn)}
调和平均数公式的证明
由于调和平均数是数据项倒数的算术平均数的逆运算（倒数），我们可以通过以下步骤来推导它。
对于数据 $x1, x2, x3, \dots, xn$，其算术平均数为：
算术平均数 = \frac{x1+x2+x3+…+xn}{n}
在调和平均数中，我们要考虑的是数据值的倒数。
因此，对于倒数数据 $1/x1, 1/x2, 1/x3, \dots, 1/xn$，其算术平均数为：
倒数数据的算术平均数 = \frac{(1/x1)+(1/x2)+(1/x3)+…+(1/xn)}{n} . . .(1)
已知调和平均数是公式 (1) 中倒数数据算术平均数的倒数（逆运算）：
调和平均数 = 倒数数据算术平均数的倒数
⇒ 调和平均数 = (\frac{(1/x1)+(1/x2)+(1/x3)+…+(1/xn)}{n})^{-1}
⇒ 调和平均数 = \frac{n}{(1/x1)+(1/x2)+(1/x3)+…+(1/xn)}
这就是给定数据集的调和平均数公式。
两个数的调和平均数
利用上述公式，我们可以很容易地找到两个数的调和平均数。假设这两个数是 a 和 b：
n = 2
a 和 b 的倒数分别是 1/a 和 1/b
HM = 2/[1/a + 1/b]
> HM = (2ab)/(a + b)
加权调和平均数
加权调和平均数与普通的调和平均数类似，但除了数值本身外，我们还考虑了数据集的权重。如果每个数据集的权重都等于 1，那么它就等同于普通的调和平均数公式。当给定数据集的权重时，我们需要计算加权调和平均数。假设数据集的权重为 $w1, w2, w3, w4, \dots, wn$，其对应的值为 $x1, x2, x3, x4, \dots, xn$，则加权调和平均数的公式为：
> 加权调和平均数 = \frac{\sum{i=1}^{i=n}Wi}{\sum{i=1}^{i=n}\frac{wi}{x_i}}
当给定的数据集带有权重时，我们就可以使用这个公式。
调和平均数示例
通过研究下面这个例子，我们可以更深入地理解调和平均数的概念。
例如，求数据集 (2, 4, 8, 16) 的调和平均数。
解法：
> 给定数据集：(2, 4, 8, 16)
>
> 取数据集的倒数：(1/2, 1/4, 1/8, 1/16)
>
> 计算倒数的总和 = (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16)
>
> ⇒ 调和平均数 = 4/(8/16 + 4/16 + 2/16 + 1/16)
>
> ⇒ 调和平均数 = 4/(15/16)
>
> ⇒ 调和平均数 = 64/15
>
> 因此，所求的调和平均数是 64/15。
AM、GM 和 HM 之间的关系
对于同一个数据集，算术平均数 (AM)、几何平均数 (GM) 和调和平均数 (HM) 之间存在一个著名的关系：几何平均数的平方等于算术平均数与调和平均数的乘积。
我们将在文章的下方讨论其证明过程。
对于数据 $x1, x2$：
算术平均数(AM) = (x1 + x2)/2
调和平均数(HM) = 2/((1/x1) + (1/x2))
几何平均数(GM) = 2√(x1 . x2)
对 GM 的等式两边取平方：
$(GM)^2 = x1 . x2$
现在，
HM = 2 x1 . x2 (1/(x1 + x2))
⇒ HM = GM^2 (2/(x1 + x2))
⇒ HM = GM^2 (1/ AM)
> HM × AM = GM2
如何求调和平均数？
我们可以按照下面讨论的步骤，轻松地找到数据集的调和平均数：
> 步骤 1： 找出给定数据集的总数量，将其记为 (n)。
>
> 步骤 2： 找出给定数据集每个数值的倒数。
>
> 步骤 3： 计算所有倒数元素的总和。
>
> 步骤 4： 用 n 除以倒数总和，即可得到数据集所需的调和平均数。
让我们通过下面的例子来理解这一概念：
例子：求数据集 (3, 6, 9) 的调和平均数。
解法：
> 给定数据集：(3, 6, 9)
>
> 步骤 1： 这里，n = 3
>
> 步骤 2： 数据集的倒数为 (1/3, 1/6, 1/9)
>
> 步骤 3： 计算总和…