如果你想知道什么是虚数，并且认为虚数一定有某种含义，那么让我们深入本文来探究究竟什么是虚数。
虚数是指当对其平方时结果为负数的数。虚数是负数的平方根，它们没有确定的实数值。虚数表示为实数与虚值 i 的乘积。
3i, 5i, 和 25i 都是虚数的一些例子。
i2 的值被定义为 -1。因此 (5i)2 的值是 -25，这意味着 i。
复数 (Complex number) ：
复数是实数和虚数的组合。复数是标准形式 – a + bi。其中 a 和 b 是实数。i 是虚数单位。现在让我们通过一些例子来快速理解一下：
- 实数 — 1, 2, 10, 10000.
- 虚数 – 4i, -5i, 2400i.
- 复数 – 2+3i, -5-4i.
虚数的共轭对 (Conjugate pair of an imaginary number) ：
a+bi 是一个复数，其共轭对是 a-bi。
当一个虚数乘以它的共轭对时，结果将是一个实数。
虚数的规则 (Rules of imaginary numbers) ：
- i = \sqrt{-1}
- i^2 = -1
- i^3 = -i
- i^4 = 1
- i^{4n} = 1
虚数的算术运算 (Arithmetic Operations on Imaginary Numbers) ：
#### 1. 加法 –
当两个虚数相加时，我们将实部相加，然后将虚部相加。
例子 –
- (2 + 2i) + (3 + 4i)
= (2 + 3) + (2 + 4)i
= (5 + 6i)
- (3 + 4i) + (5 + 3i)
= (8) + (7)i
= 8 + 7i
- (5 + 3i) + (4 + 2i)
= (5 + 4) + (3 + 2)i
= 9 + 5i.
#### 2. 减法 –
当两个虚数相减时，我们将实部相减，然后将虚部相减。
例子 –
- (2 + 2i) – (3 + 4i)
= (2 – 3) + (2 – 4)i
= (-1 – 2i)
- (3 + 4i) – (5 + 3i)
= (-2) + (1)i
= -2 + i
- (5 + 3i) – (4 + 2i)
= (5 – 4) + (3 – 2)i
= 1 + i.
#### 3. 乘法
当两个虚数相乘时，结果如下 –
例子 –
- (a + bi) (c + di)
= (a + bi)c + (a + bi)di
= ac + bci + adi+ bd i²
= (ac – bd)+i(bc + ad)
- (3 + 4i)*(3 – 4i)
= 9 + 12i -12i – 16 i²
= 25
- (2 + 2i) * (3 – 4i)
= 6 + 6i -8i – 8 i²
= (14 – 2i)
#### 4) 除法
分子和分母将乘以分母的共轭对。
例子 –
- (2 + 2i) / (3 + 4i)
将分子和分母与分母的共轭对相乘。
=(2 + 2i) (3 – 4i) / (3 + 4i)(3 – 4i)
=(6 +6i -8i – 8 i²) / 25
=(14 – 2i) / 25
- (3 + 4i) / (2 + 2i)
将分子和分母与分母的共轭对相乘。
= ((3 + 4i) (2 – 2i)) / ((2 + 2i) (2 – 2i))
=(6 + 2i – 8 i²) / (4 + 4)
=(14 + 2i) / (8)
=(7 + i) / 4
- (2 + 2i) / (2 + 2i)
将分子和分母与分母的共轭对相乘。
= ((2 + 2i) (2 – 2i)) / ((2 + 2i) (2 – 2i))
= (4 – 4 i²) / (4 – 4 i²)
= 8 / 8
= 1
我们在哪里使用虚数：
- 虚数在各种数学证明中非常有用。
- 虚数用于表示波。
- 虚数出现在不接触 x 轴的方程中。
- 虚数在高等微积分中非常有用。
- 合并交流电 (AC) 电流非常困难，因为它们在波上可能无法正确匹配。
- 使用虚电流有助于简化计算。
例 1：化简一个虚数
化简 √(-16)
解决方案：
√(-16) = √(16 -1) = √16 √(-1) = 4i
例 2：虚数加法
将 3i 和 5i 相加
解决方案：
3i + 5i = 8i
例 3：虚数乘法
将 2i 和 3i 相乘
解决方案：
2i 3i = 6i² = 6 (-1) = -6
例 4：求解具有虚数解的二次方程
求解 x² + 1 = 0
解决方案：
x² = -1
x = ±√(-1)
x = ±i
例 5：求虚数的平方
求 2i 的平方
解决方案：
(2i)² = 4i² = 4 * (-1) = -4
例 6
化简： √(-25) – 3√(-4)
解决方案： 5i – 6i = -i
例 7
相乘： (2 + 3i)(4 – i)
解决方案： 8 – 2i + 12i – 3i² = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i
例 8
相除： (5 + 2i) / (1 – i)
解决方案：
((5 + 2i) (1 + i)) / ((1 – i) (1 + i))
= (5 + 5i + 2i – 2) / (1 + 1)
= (3 + 7i) / 2
= 3/2 + 7i/2
例 9
求以下方程的根： x² + 4x + 13 = 0
解决方案：
使用二次公式：x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)
x = (-4 ± √(16 – 52)) / 2
x = (-4 ± √(-36)) / 2
x = (-4 ± 6i) / 2
x = -2 ± 3i
例 10
计算： (3 + 4i)³
解决方案：
(3 + 4i)³ = 27 + 108i + 144i² + 64i³
= 27 + 108i – 144 – 64i
= -117 + 44i
练习题目
- 在虚数的语境下，i 的定义是什么？
- 化简：√(-81)
- 相加：7i + 2 – 3i + 5
- 相乘：(1 + i)(1 – i)
- 求解方程：x² = -9
- 将复数 3 – 4i 表示为极坐标形式。
- 求 2 + 5i 的共轭数。
- 3 + 4i 的绝对值（模）是多少？
- 化简：(2i)⁴
- 在复平面中，数字的虚部代表什么？
总结
虚数是实数系统的延伸，引入它是为了解决那些没有实数解的方程。它们基于虚数单位 i，定义为 -1 的平方根。