降阶公式是积分学中一种强大的技巧，它通过将复杂的积分表达式转化为低阶或更简单的积分形式，帮助我们简化计算过程。
当我们处理涉及以下情况的积分时，这种方法显得尤为有用：
- 基本函数的高次幂
- 任意次数的多项式
- 无法直接求出原函数或原函数形式复杂的函数
下面我们列出了不同表达式对应的降阶公式：
对数函数的降阶公式
对于对数函数，降阶公式如下：
- ∫ lognx dx = xlognx -n∫logn-1x dx
- ∫xnlogmx dx = xn+1logmx/ (n+1) – {(m)/(n+1)}.∫xnlogm-1x dx
代数函数的降阶公式
对于代数函数，降阶公式如下：
- ∫ xn/mxn+k dx = x/m – y/k∫ 1/mxn+k dx
三角函数的降阶公式
对于三角函数，降阶公式如下：
- ∫ sinnx dx = -1/n sinn-1x. cosx + (n-1_/n∫sinn-2x dx
- ∫ cosnx dx = 1/n cosn-1x.sinx + (n-1)/n∫cosn-2x dx
- ∫ tannx dx = 1/(n-1) tann-1x – ∫tann-2x dx
- ∫ sinnx.cosmx dx = sinn+1x. cosm-1x / (n+m) + (m-1)/(n+m)∫ sinnx.cosm-2x dx
指数函数的降阶公式
对于指数函数，降阶公式如下：
∫ xnemx dx = 1/m. xnemx – n/m ∫xn-1emx dx
反三角函数的降阶公式
对于反三角函数，降阶公式如下：
∫ xn arc sinx dx = (xn+1/n+1) arc sinx – (1/n+1)∫(xn+1/(1-x2)1/2) dx
- ∫ xn arc cosx dx = (xn+1/n+1) arc cosx + (1/n+1)∫(xn+1/(1-x2)1/2) dx
- ∫ xn arc tanx dx = (xn+1/n+1) arc tanx – (1/n+1)∫(xn+1/(1+x2)1/2) dx
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使用降阶公式的实例
例 1： 化简 ∫ x2.log2x dx
解：
> 使用公式 ∫xnlogmx dx = xn+1logmx/ n+1 – m/n+1 .∫xnlogm-1x dx
>
> n=2, m=2
>
> ∫ x2.log2x dx = x3log2x/3 – 2/3.∫x2logx dx
>
> = x3log2x/3 – 2/3.∫x2logx dx
>
> = x3log2x/3 – 2/3. (x3.logx/3 – 1/3. ∫x2 dx)
>
> = x3log2x/3 – 2/3. (x3.logx/3 – 1/3. x3/3)
>
> = x3log2x/3 – 2/9. x3.logx – 2/27. x3
例 2： 化简 ∫ tan5x dx
解：
> 使用公式 ∫ tannx dx = 1/n-1 tann-1x – ∫tann-2x dx
>
> ∫ tan5x dx = 1/4 tan4x – ∫tan3x dx
>
> = 1/4 tan4x – ∫tan3x dx
>
> = 1/4 tan4x – ( 1/2tan2x – ∫ tanx dx)
>
> = 1/4 tan4x – 1/2tan2x + 1/2. ln secx
例 3： 化简 ∫ xe3x dx
解：
> 使用公式 ∫ xnemx dx = 1/m. xnemx – n/m ∫xn-1emx dx
>
> = 1/3.xe3x – n/m ∫e3x dx
>
> = 1/3.xe3x – n/m . 3. e3x dx
例 4： 化简 ∫ log2x dx
解：
> 使用 ∫ lognx dx = xlognx -n∫logn-1x dx
>
> ∫ log2x dx = 2log2x -2∫logx dx
>
> = 2log2x -2∫logx dx
>
> = 2log2x -2xlogx
例 5： 化简 ∫ tan2x dx
解：
> 使用 ∫ tannx dx = 1/n-1 tann-1x – ∫tann-2x dx
>
> n=2
>
> ∫ tan2x dx = tanx – ∫tan0x dx
>
> ∫ tan2x dx = tanx – x
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