什么是概率密度函数？
概率密度函数 (PDF) 和累积分布函数 (CDF) 用于描述连续随机变量的概率分布。简单来说，概率密度函数告诉了我们连续随机变量取不同值的可能性大小。通过对连续随机变量的累积分布函数进行微分，我们可以确定概率密度函数。同样地，如果我们对概率密度函数进行积分，就可以得到两个特定点之间的概率或累积分布函数。
例如， 假设有一个连续随机变量，其概率密度函数由 f(x) = x + 4 给出，其中 0 < x ≤ 4；我们要确定 P(1.5 < X < 2)。为了求出给定连续随机变量的概率，我们将在 1.5 和 2 的范围内对 x + 4 进行积分。结果将是 2.875。因此，X 在 1.5 和 2 之间的概率为 2.875。
目录
- 概率密度函数公式
- 概率密度函数图形
- 概率密度函数的性质
- 离散分布的概率分布函数
- 连续分布的概率分布函数
- 概率密度函数的应用
- 概率分布函数的求解实例
概率密度函数公式
离散随机变量情况下的函数公式
- 离散随机变量的概率密度函数给出了该变量取特定值的概率。
- 概率密度函数公式表示为 P(X=x)，其中 X 是随机变量，x 是它可以取的特定值。
- 当满足以下条件时，一个函数可以量化为离散随机变量的概率函数或概率密度函数：
> fX(x) ≥ 0, 对于 X 范围内的所有 x
>
> \sumxfX(x)=1
#### 示例：
假设一个袋子里有 6 个球。随机变量 X 是随机选出的球的重量（单位：kg）。球 1、2 和 3 的重量为 0.5 kg；球 4 和 5 的重量为 0.25 kg；球 6 的重量为 0.3 kg。写出 X 的概率密度函数。
#### 解决方案：
fX(0.5) = P(X = 0.5) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}
fX(0.25) = P(X = 0.25) = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}
fX(0.3) = P(X = 0.3) = \frac{1}{6}
连续随机变量情况下的函数公式
- 连续随机变量的概率密度函数给出了变量落在特定区间内的可能性。
- 概率密度函数表示为 f(x)，其中 x 是连续随机变量。
- x 位于给定区间 [a,b] 内的概率是通过对该范围内的 PDF 进行积分来计算的。因此，
> P(a<x<b)=\int{a}^{b}fX(x)~dx
- 当函数满足以下条件时，它将作为概率密度函数：
> fX(x) ≥ 0, -∞ ≤ x ≤ ∞
>
> \int{-\infty}^{\infty}fX(x)~dx=1
这里积分限取为 -∞, ∞。然而，在现实生活中，我们将使用适用于问题的 x 值。这意味着如果变量在 a 和 b (a < x < b) 之间给定，那么积分的限将是 a 和 b。
#### 示例：
一个连续随机变量 Y 的概率密度函数为 fY(y) = 10y2(1-y)，其中 0 < y < 2。请确定 P(Y < 0.2)。
#### 解决方案：
P(Y < 0.2) = \int_{0}^{0.2}10y^2(1-y)dy
P(Y < 0.2) = [\frac{5y^2(4-3y)}{6}]^{0.2}_{0}
P(Y < 0.2) = 0.023
概率密度函数图形
概率密度函数 (PDF) 是通过将变量在一定范围内的密度相加而得出的。我们使用符号 f(x) 来表示这个函数。在图形上的任何一点，这个函数的值都是正数或零。当我们计算 PDF 在整个范围内的定积分时，结果总是等于 1。
概率密度函数的图形通常看起来像钟形曲线，结果的可能性显示在曲线下方。下图说明了连续随机变量 x 的概率密度函数的图形，其中函数由 f(x) 表示。
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概率密度函数的性质
- 密度函数表示为 f(x)，用于值在特定限制 a 和 b 之间的连续随机变量。为了找到概率密度函数 (PDF)，我们要计算 X 轴上这些限制之间曲线下的面积。
- 对于 x 的任何可能值，概率密度函数 f(x) 总是大于或等于零。
- 在给定范围 a 到 b 内，密度曲线和 X 轴之间的总面积等于 1。这代表了连续随机变量的整个概率空间。
- 密度函数曲线在整个指定范围内平滑延伸，说明了随机变量的连续性质。
- 概率密度函数是在一系列连续值上定义的，反映了变量的定义域。