在数学中，当我们处理无穷级数时，绝对收敛的概念至关重要。如果一个级数取其各项绝对值后构成的新级数收敛，我们就说该级数绝对收敛。这比简单的收敛条件更强，因为它意味着无论级数的各项如何排列，级数都将收敛，这对于条件收敛的级数来说不一定成立。
绝对收敛之所以特别有用，是因为它允许我们应用各种收敛判别法，比如比值判别法和根值判别法，而这些方法通常要求所有项都是正数。
目录
- 什么是绝对收敛？
- 绝对收敛级数的例子
- 绝对收敛的判别法
- 绝对收敛与条件收敛的对比
- 绝对收敛的例题
- 关于绝对收敛的常见问题
绝对收敛是数学中涉及无穷级数收敛的一个概念。具体来说，如果级数 $\sum{n=1}^{\infty} an$ 的各项绝对值组成的级数 $\sum{n=1}^{\infty}
$ 也收敛，那么我们就说级数 $\sum{n=1}^{\infty} an$ 绝对收敛。
绝对收敛意义重大，因为如果一个级数绝对收敛，那么它通常意义下也收敛（尽管反之不一定成立）。
> 对于给定的级数 $\sum{n=1}^{\infty} an$，如果其绝对值级数 $\sum{n=1}^{\infty}
$ 收敛，那么 $\sum{n=1}^{\infty} an$ an 是绝对收敛的。
让我们来看一个包含绝对收敛和条件收敛的级数例子：
- 绝对收敛级数：考虑级数 $\sum{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$。其绝对值级数 $\sum{n=1}^{\infty} \left
\frac{(-1)^n}{n^2}\right = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（根据 p级数判别法，p = 2）。因此，原级数绝对收敛。
- 条件收敛级数：交错调和级数 $\sum{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 是条件收敛的，这意味着它本身收敛，但并不绝对收敛，因为调和级数 $\sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的。
绝对收敛级数的一些其他通用例子：
- 几何级数
- p级数
- 交错调和级数
例子 1：几何级数
几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 是绝对收敛的。
例如：$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$
这里，a = 1 且 r = 1/2。该级数收敛于：$a/(1 – r) = 1/(1 – 1/2) = 2$
由于 $
= (1/2)^n$，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ 也是绝对收敛的。
例子 2：p > 1 的 p级数
p级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 当 p > 1 时绝对收敛。
例如：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots$
这个级数收敛，因为它是 p = 2 的 p级数。级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的收敛性意味着它是绝对收敛的。
例子 3：交错调和级数
交错调和级数：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \cdots$ 是条件收敛的。
然而，如果我们考虑绝对值：$\sum{n=1}^{\infty} \left
= \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 就是调和级数，它是发散的。
因此，交错调和级数不是绝对收敛的。
- 比较判别法
- 比值判别法
- 根值判别法
- 积分判别法
比较判别法
比较判别法涉及将待检验的级数与另一个已知收敛或发散的级数进行比较。这种比较判别法有两种类型：
- 直接比较判别法
- 极限比较判别法
直接比较判别法
如果对于所有 n 都有 $0 \le
\le bn$，且 $\sum bn$ 收敛，那么 $\sum
$ 也收敛。反之，如果 $\sum bn$ 发散且 $an \ge bn$，那么 $\sum
$ 发散。
例子：检验级数 $\sum \frac{\sin(n)}{n^2}$ 的收敛性。
解法：
> 为了检验 $\sum \frac{\sin(n)}{n^2}$ 是否绝对收敛，我们可以将其与 $\sum 1/n^2$ 进行比较，根据 p级数判别法，后者是收敛的。
>
> 由于 $\left
\leq \frac{1}{n^2}$，所以 $\sum \frac{\sin(n)}{n^2}$ 绝对收敛。
极限比较判别法
极限比较判别法利用两项之比的极限，将给定的级数与已知级数进行比较。
如果 $an \ge 0$, $bn > 0$ 且 $\lim{n \to \infty} \frac{an}{bn} = c$，其中 c 是一个正的有限数，那么 $\sum an$ 和 $\sum b_n$ 要么都收敛，要么都发散。
例子：检验级数 $\sum \frac{3^n}{4^n}$ 的收敛性。
解法：
> 为了检验 $\sum \frac{3^n}{4^n}$ 是否绝对收敛，我们可以将其与几何级数 $\sum (3 \cdot 4)^n$ 进行比较，其公比为…