正交向量（Orthogonal Vectors） 是线性代数和几何学中的一个基本概念。正交向量是指彼此互相垂直的向量，这意味着它们相交成一个直角（90度）。如果两个向量的点积为零，我们称它们为正交向量。 在这篇文章中，我们将详细学习正交向量的定义、正交向量的公式、正交向量的示例以及其他相关知识。
目录
- 正交向量定义
- 什么是向量的正交性？
- 正交向量的性质
- 向量的正交投影
- 如何检查两个向量的正交性？
- 正交向量的点积
- 正交向量的叉积
正交向量定义
如果向量 a 和 b 满足以下条件，则它们是正交向量：
> \vec{a}⋅\vec{b} = 0
这里，点积 a⋅b 的计算公式如下：
> \vec{a}⋅\vec{b} = a{1}b{1} + a{2}b{2} + a{3}b{3} +⋯+ a{n}b{n}
!Orthogonal-Vector-Formula正交向量
什么是向量的正交性？
向量中的正交性是一个数学概念，如果两个向量彼此互相垂直，我们称它们为正交向量。这是向量代数中的一个关键概念，在物理、工程和计算机科学等各个领域都有重要的应用。
正交性的定义
如果两个向量的点积为零，它们就是正交向量。从几何上看，这意味着向量之间形成一个直角（90°）。在数学上，对于向量 "a" 和 "b"，正交性定义为："a ⋅ b" 等于零。
正交向量公式
为了检查表示为 "\vec{a} = a{1}i + a{2}j + a{3}k" 和 "\vec{b} = b{1}i + b{2}j + b{3}k" 的两个向量 "a" 和 "b" 的正交性，我们可以使用它们的点积：正交向量公式如下：
> \vec{a} ⋅ \vec{b} = a{1}b{1} + a{2}b{2} + a{3}b{3} = 0
正交向量的性质
正交向量具有各种性质：
- 垂直性质：正交向量总是彼此垂直。
- 点积：正交向量的点积为零。
- 零向量：零向量（模长为零的向量）与每一个向量都正交。
- 叉积：两个正交向量的叉积不为零，除非其中一个向量是零向量。
向量的正交投影
向量的正交投影是线性代数中的一个概念，指一个向量以垂直的方式投影到另一个向量上。这种投影产生了一个新的向量，该向量沿着被投影向量的方向延伸。
给定两个向量 "a" 和 "b"，"b" 在 "a" 上的正交投影，记为 (proj)_{b}(a)，其计算方法是：先计算 "b" 在 "a" 上的标量投影，除以 "a" 的模长，然后再乘以 "a"。数学上，它可以表示为：
> ((proj)_{b}(a) = (a ⋅ b) / (
²) × a
其中：
- "a ⋅ b" 表示向量 "a" 和 "b" 的点积，
- "
a ²
" 表示向量 "a" 的模长的平方。
这种投影有助于理解向量 "b" 在向量 "a" 方向上的分量，从而便于进行向量代数和几何学中的各种计算和分析。
如何检查两个向量是否正交？
如果向量 "\vec{a}" 和 "\vec{b}" 的点积等于零，那么向量 "\vec{a}" 和 "\vec{b}" 就是正交的。如果点积不为零，那么向量 "\vec{a}" 和 "\vec{b}" 就不是正交的。
正交向量的点积
对于两个向量 a 和 b，点积的计算如下：
点积 a · b 等于其对应分量乘积的和：
> \vec{a}⋅\vec{b} = a{1}\times\ b{1} + a{2}\times\ b{2} + a{3}\times\ b{3} +⋯+ a{n}\times\ b{n}
如果向量是正交的，这意味着它们是垂直的，那么它们的点积就是零：
> \vec{a}⋅\vec{b} = 0
这一性质在各种数学和实际应用中至关重要，特别是在线性代数和几何学中。
正交向量的叉积
当两个向量正交（或垂直）时，它们的叉积会产生一个新的向量，该向量同时垂直于原来的两个向量。
两个向量 \vec{a} 和 \vec{b} 的 叉积，记为 \vec{a}\times \vec{b}，产生一个同时垂直于 a 和 b 的新向量。这个新向量的方向遵循右手定则：如果你将右手的四指沿着向量 a 的方向对齐，然后卷向向量 b，你的拇指将指向结果叉积向量的方向。
叉积的模长由原向量的模长以及它们之间夹角的正弦值决定。如果 a 和 b 是正交的，这意味着它们之间的夹角是 90 度，那么正