平方根变换是一种数学技术，通过将数据集中的每个值替换为其平方根来处理数据。简单来说，就是对我们数据列中的每一个数字取平方根。
从数学上讲，如果我们有一个数据点 $x$，变换后的值将变为：
> x‘ = \sqrt{x}
为什么我们要使用平方根变换？
当我们的数据不符合标准统计检验的假设时，就需要使用像平方根法这样的数据变换技术。以下是使用平方根变换的主要原因：
1. 减少右偏态
许多现实世界的数据集都呈现右偏分布，这意味着它们在右侧有一条长长的尾巴。这种偏态会扭曲统计分析的结果。平方根变换通过拉近较大的值，有助于使数据更加对称。
2. 稳定方差
在某些数据集中，变异性（离散程度）会随着数值的增加而增加。这种现象被称为异方差性。而统计检验通常假设数据具有同方差性，即方差恒定。平方根变换有助于平衡数值的离散程度。
3. 数据正态化
正态分布（钟形曲线）是许多统计技术的常见假设。平方根变换可以帮助非正态数据的数据呈现出更接近正态分布的特征。
4. 提高模型准确性
在回归、聚类或分类模型中，变换后的数据可以通过减少极端值的影响来提高模型的性能。
何时使用平方根变换？
当我们处理计数数据（如事件或缺陷的数量）时，平方根变换最为有用，特别是当数据呈现右偏、仅包含正值且方差随均值增加而增加时。它有助于使数据更加对称并稳定方差。然而，它并不适合包含负值（除非进行调整）的数据，也不适合已经呈现正态或对称分布的数据，或者在需要保留原始单位的情况下（因为变换会改变测量尺度）。
平方根变换的步骤
步骤 1：检查数据
首先，我们需要查看数据的分布情况。我们可以通过以下方式：
- 绘制直方图以观察其形状。
- 计算偏度：正值表示右偏。
- 使用箱线图来检测异常值和不对称性。
步骤 2：应用变换
使用标准的平方根公式：
> x‘ = \sqrt{x}
如果我们的数据包含零，我们可以进行微小的平移以避免计算零的平方根：
x‘ = \sqrt{x+1}
如果我们的数据包含负值，我们需要在应用变换之前平移整个数据集，使所有值都变为正数：
x‘ = \sqrt{x – \min(x) + 1}
步骤 3：分析变换后的数据
变换之后，我们需要重新检查数据：
- 再次绘制直方图以观察分布的变化。
- 计算偏度，看看它是否减小了。
- 评估方差是否变得更加均匀。
随后，我们就可以使用变换后的数据继续进行统计分析或构建机器学习模型了。
平方根变换的视觉影响
!sqrtSquare Root Transformation
原始数据
—
2.01
1.31
2.05
针对一个右偏数据集
变换之前
- 直方图显示出一条长长的右尾巴。
- 偏度为 +2。
- 均值远大于中位数。
经过平方根变换后：
- 直方图变得更加对称。
- 偏度下降并接近于 0。
- 均值和中位数更加接近。
这使得数据在使用 t检验、方差分析（ANOVA）、回归等统计检验时变得更加容易处理。
应用场景
- 生物科学：平方根变换常用于细菌菌落计数、昆虫目击数量、基因表达水平等。
- 经济学：用于对交易量、区域内企业数量等进行建模。
- 心理学：在分析具有偏态频率分布的调查结果时经常使用。
- 质量控制：单位或批次的缺陷计数可以通过平方根变换来稳定方差。
平方根变换的局限性
虽然平方根变换功能强大，但它也有一些缺点：
- 仅适用于非负值。 如果我们的数据包含负数，我们需要先对其进行平移。
- 可解释性会受损。 一旦我们变换了数据，数值就不再是原始单位，这可能使得向非技术利益相关者解释变得更加困难。
- 并不总是有效。 如果我们的数据严重偏态或包含极端异常值，对数变换或 Box-Cox 方法可能会更有效。