在数学的世界里，数制 是一个用于表示数字的系统。在这里，数字被定义为一种数学值，它不仅能帮助我们计数、测量或标记物体，还能用于执行各种数学计算。根据性质的不同，数字主要分为自然数、整数、有理数和无理数、实数等。在数制中，这些数字以数位的形式存在。数制帮助我们执行各种算术运算，如加法、减法和除法。常见的数制包括二进制、八进制和十进制等。
我们将所有自然数和零的集合称为 整数。整数是实数的一部分，它仅包含正整数和零，即不包含负数、小数或分数。在数学中，整数通常用字母 W 表示。整数集合表示为 W = {0, 1, 2, 3,…}，因此我们可以说，整数是一组非负整数。整数是从 0、1、2、3、4 等开始的一组计数数字。由于整数从 0 开始，0 是最小的整数。在数轴上，零位于正数和负数之间。我们同样可以对整数执行加法、减法、乘法和除法等算术运算。
!整数
整数的性质
对整数进行加法、减法、乘法和除法等基本算术运算，引出了整数的四个主要性质：封闭性、交换律、结合律和分配律。
封闭性
两个整数的和与积仍然是整数，这意味着整数在加法和乘法下是封闭的。
例如，两个整数 14 和 18 的和是 32，这也是一个整数 [14+18 = 32]；它们的积是 252，这也是一个整数 [14 × 18 = 252]。
交换律
即使改变数字的顺序，整数的和与积也保持不变。让我们假设两个整数 ‘a‘ 和 ‘b‘。那么，根据交换律：
- a + b = b + a
- a × b = b × a
请注意，在整数的减法和除法中，交换律并不成立。
加法单位元
当任何整数与 0 相加时，其值保持不变。例如，假设一个整数 "a"，那么：
- a + 0 = 0 + a = a
例子：5 + 0 = 0 + 5 = 5
乘法单位元
当任何整数与 1 相乘时，其值保持不变。例如，假设一个整数 "a"，那么：
- a × 1 = 1 × a = a
例子：8 × 1 = 1 × 8 = 8
结合律
即使改变数字的分组方式，任意三个整数的和或积也保持不变。让我们考虑三个整数 ‘a‘、‘b‘ 和 ‘c‘。那么，根据结合律：
- a + (b + c) = (a + b) + c
- a × (b × c) = (a × b) × c
分配律
分配律指出，整数与和或差的乘法可以分配到括号内的每一个数上。让我们考虑三个整数 ‘a‘、‘b‘ 和 ‘c‘。那么分配律指出：
- a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
- a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
整数与自然数的区别
!整数表示
自然数
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所有正整数的集合被称为自然数。N = {1, 2, 3, 4, 5,…}
计数从 1 开始，即 1 是最小的自然数。
所有自然数都是整数。## 关于整数的例题详解
例 1：请在集合 { -5, -4.25, 0, 2/5, 8, 19, 68} 中找出整数。
解答：
> 如前所述，所有自然数和零的集合被称为整数。在数学中，整数集合表示为 W = {0, 1, 2, 3, 4,…}。
>
> 因此，给定数字中的整数是 {0, 8, 19 和 68}。
例 2：-135, 51, 112, 169 和 1829 是整数吗？
解答：
> 因为 -135 是一个负整数，除了 -135 以外，所有给定的数字都是整数，即 51, 112, 169 和 1829 是整数。
例 3：使用分配律求解 14 × (3 + 7)。